Ensemble et parties 2

[Mister Red]

Bonjour à tous, voilà j'ai encore des problèmes sur la suite de l'exercice. Cette fois-ci la fonction est à valeurs réelles. Les questions sont les mêmes, et je dois démontrer s'il est possible d'affirmer les mêmes choses que précédemment.

Voilà l'énoncé en image :





Pour ma part, je ne vois pas en quoi changer d'ensemble d'arrivé modifiera les réponses...
Je me demande en fait qu'est-ce qui va changer si l'ensemble d'arrivé change (de N à R ici) ?

Merci de votre aide.

[alavacommejetepousse]

bonjour pour l instant tout est possible

[Mister Red]

C'eszt ce que je pensais également, mais pour quelles raisons le changement d'ensemble d'arrivée ne modifie pas ces résultats ?

[Nightmare]

Salut,

J'ai beau lire et relire l'exercice, je ne comprends vraiment pas ce qu'il faut faire. A priori on te donne une mesure (bornée) définie sur P(N), et ensuite? On l'étend à R*+ et il faut justifier si cette extension est possible?

[Mister Red]

Dans la partie I, g était une application de P(E) dans N, ici c'est dans R+. Les questions de la question 1. ont déjà été demandé dans la partie I, ici on me redemande de justifier ces affirmations.

En fait de passer de N à R, cela ne change rien si ?

Je ne comprends vraiment pas grand chose aux ensembles et parties :mur:

Je ne sais même pas comment il faut faire pour démontrer que A(inclus)B implique que g(A)<=g(B)...

[Mister Red]

Personne pour m'aider... ?

[zerkel]

bonsoir,
je suis en train d'essayer de trouver une réponse pertinente pour le passage de N à R par rapport à ton exercice mais à priori pour le moment le seul truc que je peux dire c'est que si l'on est dans N avec M élément de N, alors le nombre possible de valeurs prises par g est fini alors que dans le cadre de R ce n'est pas le cas.
Par contre pour le fait que pense au fait que )

[alavacommejetepousse]

Personne pour m'aider... ?

je t ai déjà répondu pour ces deux questions c est idem

c est ensuite que ça va coincer (cf post de zerkel)

[Mister Red]

Je crois que j'ai trouvé pour la question deux :

B=A(union)[Acomplémentaire(inter)B]

Or A(inter)[Acomplémentaire(inter)B]=vide
Alors g(A(union)[Acomplémentaire(inter)B])=g(A)+g[Acomplémentaire(inter)B]
g(B)=g(A)+g[Acomplémentaire(inter)B]
g(A)=g(B)-g[Acomplémentaire(inter)B]
g(A)<=g(B)

Merci beaucoup zerkel, aurais-tu trouver un peu plus pour la question une ? On me demande juste de dire s'il est possible d'affirmer les égalités lorsque g est à valeurs réelles et non plus entières... Pourrais-tu m'expliquer s'il te plait ?


Alavacommejetepousse, pourrais-tu être plus précis, ensuite ça va coincer c'est-à-dire ? Car je ne vous ai pas mis la suite de l'exercice...

[zerkel]

Donc sauf erreur de ma part j'ai réussi à tout prouver dans le (1).
Donc pour le premier, il y a une astuce et ensuite on conclut avec la propriété (3) (je te laisse chercher l'astuce).
Le second, bon là c'est du grand classique je te laisse deviner.
le troisième j'ai fait avec une méthode très tordue qui consiste à partir de P(A) + P(B) et de décomposer A et B chacun en parties disjointes...
le quatrième cf (2).

[Mister Red]

Oui en fait, tout ça a déjà été prouvé dans la partie I, dont alavacommejetepousse m'a aidé, voir ICI

Pour le 1 :
U=A(inter)Bcomplémentaire
ce qui implique que U(inclu)A et que U(inter)B=ensemblevide

A=[A(interB)](union)U
f(A)=f[A(inter)B]+f(U)
f[A(inter)B]=f(A)-f(U)
f[A(inter)B]=f(A)-f(A)
F(ensemblevide)=0

Pour le 2 :
Comme Ak sont des parties disjointes deux à deux
(Inter)Ak=ensemblevide d'où g(UnionAk)=Sommeg(Ak)

Pour le 3 :
J'ai déjà trouvé en écrivant AunionB comme la réunion de trois parties disjointes : A(union)B=A(union)B(union)(AinterB)

Pour le 4 :
Comme g(E)=g(A)+g(Acomplémentaire)
g(A)=g(E)-g(Acomplémentaire)
g(A)<=g(E)
g(A)<=M

En fait les résultats sont les mêmes pour g à valeurs réelles ici, et précédemment à valeurs entières, c'est ça ?

[zerkel]

ah ok... donc oui comme il l'a dit à plusieurs reprises jusqu'à la question (2) ça marche exactement de la même manière

[Mister Red]

Comment dois-je justifier que cela ne change pas ? Dois-je simplement dire que l'ensemble d'arrivée n'a aucune influence sur ces résultats ? Y-a-t'il un explication précise et correcte à cela ?