Ensemble et parties

par **Mister Red** » 28 Oct 2009, 15:29

Bonjour à tous, je n'arrive pas à avancer sur un exercice de math sur les ensembles et parties.

Voilà l'énoncé en image :

Tout va bien jusqu'à la question 4. Après impossible de démontrer le majorant, la non-injecitvité, la non-surjectivité et la fonction bijective Phi. Ça fait déjà des heures que je suis déçu. En espérant que certains pourront m'aider.

Merci.

par **greg78** » 28 Oct 2009, 15:45

Pour la majoration tu peux utiliser la question précédente je pense.

Comme

on a

par **alavacommejetepousse** » 28 Oct 2009, 15:56

bonjour

pour la majoration fais comme indiqué ( en fait f est croissante)

ensuite pour l injection si elle existait E auraitau moins M+2 éléments ( c'est trop en fait)

prendre la partie formée de ces éléments l'écrire comme la réunion de ses singletons on aurait f(A)>M car les images des singletons valent toutes au moins 1 sauf une éventuellement absurde

pour la surjection idem pour phi idem (écrire une partie finiecomme la réunion finie disjointe de ses singletons)

par **Mister Red** » 28 Oct 2009, 16:05

Ok pour la majoration mais après je n'ai pas tellement compris.

En fait moi j'ai fais comme ça pour l'injection :
- f(AUB)=f(A)+f(B)
- si A(complémentaire)=B alors f(E)=f(A)+f(B)
alors f(E)=f(AUB)
or AUB est différent de E
Deux éléments distincts ont la même image donc la fonction n'est pas injective.

La démonstration est-elle bonne ?

Par contre pourrais-tu me ré expliquer ta manière stp ?

par **alavacommejetepousse** » 28 Oct 2009, 16:14

Mister Red a écrit:Ok pour la majoration mais après je n'ai pas tellement compris.

En fait moi j'ai fais comme ça pour l'injection :
- f(AUB)=f(A)+f(B)
- si A(complémentaire)=B alors f(E)=f(A)+f(B)
alors f(E)=f(AUB)
or AUB est différent de E
Deux éléments distincts ont la même image donc la fonction n'est pas injective.

La démonstration est-elle bonne ?

Par contre pourrais-tu me ré expliquer ta manière stp ?

ben non AUB c est E justement

par **Mister Red** » 28 Oct 2009, 16:19

Ben pas forcément si ? Parce que A et B sont des parties de E mais ça veut pas forcément dire "qu'ils englobent" tout E si ?

Sinon pourrais-tu m'expliquer plus en détail la méthode des singletons stp ?

par **alavacommejetepousse** » 28 Oct 2009, 16:57

tu as dit B est le complémentaire de A; c 'est donc que leur réunion est E

pour

A ={a(1),....,a(M+2)} les a(i) tus distincts ( ds le cas où l injection existe)

A = U {a(i)} puis f(A) = etc ..>M

par **Mister Red** » 29 Oct 2009, 07:46

Si A=U{a(i)} alors f(A)=Somme f ( {a(i)} ) > M ? Pourquoi ?

par **alavacommejetepousse** » 29 Oct 2009, 07:55

Mister Red a écrit:Si A=U{a(i)} alors f(A)=Somme f ( {a(i)} ) > M ? Pourquoi ?

c'est la question 2 les singletons sont disjoints, chaque image est un entier naturel une seule peut valoir 0 (injectivité) donc les autres valent au moins 1 leur somme au moins M+1

par **Mister Red** » 29 Oct 2009, 08:00

Ce qui suffit pour démontrer la non-injectivité ? Y a-t-il besoin d'une réciproque ?

Pour la non-surjectivité, on commence par quoi ?

Merci grandement pour ton aide !

par **alavacommejetepousse** » 29 Oct 2009, 09:18

pour la non surjectivité idem si une telle surjection existait

0,...,M+1 auraient tous un antécédent a(0),...a(M+1) tous distincts et rebelote comme pour la non injectivité

par **Mister Red** » 29 Oct 2009, 09:30

Si la surjectivité existait :
a=U{a(i)}
0,1...M+1 auraient tous un antécédent {a(0)},{a(1)},...{a(M+1)}

mais la fonction f où apparait-elle dans la démonstration ?

si f(E)=M alors ça ferrait :

0,1,...,f(E) auraient tous un antécédent {a(0)},{a(1)},...,{a(f(E))} ?

Qu'est-ce que f vient faire dans le singleton

On parle bien de la surjectivité de f non ? Si je comprends bien, là on résonne par l'absurde c'est ça ? Où est la contradiction ?

C'est vraiment difficile pour moi, merci pour ta patience.

par **alavacommejetepousse** » 29 Oct 2009, 09:53

Mister Red a écrit:Si la surjectivité existait :
a=U{a(i)}
0,1...M+1 auraient tous un antécédent {a(0)},{a(1)},...{a(M+1)}

mais la fonction f où apparait-elle dans la démonstration ?

si f(E)=M alors ça ferrait :

0,1,...,f(E) auraient tous un antécédent {a(0)},{a(1)},...,{a(f(E))} ?

Qu'est-ce que f vient faire dans le singleton

On parle bien de la surjectivité de f non ? Si je comprends bien, là on résonne par l'absurde c'est ça ? Où est la contradiction ?

C'est vraiment difficile pour moi, merci pour ta patience.

M n intervient que comme majorant de f oui on raisonne par l'absurde car on montrerait que M ne majore pas f (ds les deux cas injection et surjection)

par **Mister Red** » 29 Oct 2009, 10:31

Ok d'accord merci.

Donc si l'on fait la même chose que l'injection on doit avoir :
C'est pas plutôt 1,2,...,M+1 car k appartient à [1;n] ?
Et ne doit-on pas plutôt mettre les antécédents en "singletons" ?

Donc je reprends, 0,1,...,M+1 auraient tous un antécédent distinct {a(0)},{a(1)},...,{a(M+1)}
D'où soit A=U({ai}) alors Intersection des {ai}=ensemble vide
Ce qui implique que f(A)=Somme f({ai}) > M
Or f(A) <= M donc f n'est pas surjective.

C'est bien ça ?

par **alavacommejetepousse** » 29 Oct 2009, 12:55

Mister Red a écrit:Ok d'accord merci.

Et ne doit-on pas plutôt mettre les antécédents en "singletons" ?

Donc je reprends, 0,1,...,M+1 auraient tous un antécédent distinct {a(0)},{a(1)},...,{a(M+1)}
C'est bien ça ?

non la surjection allant de E dans N un antécédent de i est un a(i) élément de E et non un {a(i)} élément de P(E)
sinon c'est ça

par **Mister Red** » 29 Oct 2009, 14:13

Dois-je également enlever les singletons ici ?

D'où soit A=U({ai}) alors Intersection des {ai}=ensemble vide
Ce qui implique que f(A)=Somme f({ai}) > M

par **alavacommejetepousse** » 29 Oct 2009, 14:15

Mister Red a écrit:Dois-je également enlever les singletons ici ?

non car f est une application de P(E) dans N

par **Mister Red** » 29 Oct 2009, 14:45

Ok reçu merci beaucoup alavacommejetepousse.

Pour l'application Phi, j'en déduis qu'avec les résultats que nous avons trouvé :

f(A)=sommef({ai}) > M ---> injective
f(A)=sommef({ai}) > M ---> surjective

Cette fonction est telle que Phi(a)=f({ai}), cette fonction Phi est injective, surjective et minoré par M c'est cela ?

par **Mister Red** » 31 Oct 2009, 08:42

Je pense que c'est ça effectivement, mais comment savoir si cette fonction est unique ?

par **Mister Red** » 31 Oct 2009, 13:36

Je m'en reviens encore à toi alavacommejetepousse pour te demander si mes résultats sont justes.

Pour la toute première question : démontrer que f(ensemblevide)=0

Je pose V=A(inter)B, ce qui implique que U(inclu)A et que U(inter)B=ensemblevie

A=[A(interB)](union)U
f(A)=f[A(inter)B]+f(U)
f[A(inter)B]=f(A)-f(U)
f[A(inter)B]=f(A)-f(A)
F(ensemblevide)=0

Est-ce correct ?

Deuxième question démontrer que f(réunion des Ak)=Somme f(Ak) :

Comme (inter)Ak=ensemblevide alors f(réunion des Ak)=Somme f(Ak)

Je ne pense pas que la démonstration soit bonne étant donnée le peu de ligne qu'elle me prend... Non ?

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