Ensemble fermé

[zork]

bonjour

Montrer que F (dans R) est un fermé de R <=> pour tout ensemble E non vie, borné, inclus dans F on supE dans F et infE dans F

J'ai réussi l'implication directe.

Mais l'autre me pose problème. J'ai essayé de montré que F=adh(F)

On a déjà F inclus dans adh(F)
Pour montrer l'autre inclusion j'ai pris x dans adh(F)
adh(F) est fermé donc il existe une suite (Un) qui à pour limite x
mais comment montrer que x est dans F?


merci

[Nightmare]

Hello,

une idée : Si une suite est croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée), alors elle converge vers le sup (resp. l'inf) des {un, n décrivant N}

Si (un) est une suite de F convergeant vers x, on peut en extraire une sous-suite monotone.

Conclus.

[zork]

du coup de ma suite (Un) j'extrais une suite (Vn). Mais elle n'est pas forcément croissante ou décroissante?

[Nightmare]

monotone = croissante ou décroissante

[zork]

en faite je prend (Vn) comme je veux: soit croissante, soit décroissante

[zork]

mais là si je prend (Vn) croissante, j'aurai x<=sup(adhF) mais il me faudrait supE

[Nightmare]

en faite je prend (Vn) comme je veux: soit croissante, soit décroissante

Non, ce n'est pas au choix. Si tu prends une suite décroissante convergente, ça va être dur d'en extraire une suite croissante...

On sait juste qu'il existe une sous-suite monotone, mais on ne sait pas a priori si elle est croissante ou décroissante. Ca tombe bien, pour notre exercice, on s'en fiche.

Je te laisse y réfléchir.

[zork]

je prend (Vn) une suite extraite de (Un)
on a soit Vn<=sup(adhF) soit inf(adhF)<=Vn

[Nightmare]

Je ne comprends pas ce que tu écris. C'est censé être quoi déjà sup(AdhF) et inf(AdhF)? Qui te dit que Adh(F) est borné?

En outre je ne vois pas le rapport entre ce que tu écris et ce que j'ai dit. J'ai dit qu'une suite monotone convergente avait pour limite la borne sup ou la borne inf de son image. Où te sers-tu de ceci?

[zork]

j'ai extrait de (Un) une suite (Vn) qui tend aussi vers x. Mais x est dans adh(F)