Fermé de l'ensemble des suites bornées

par **Bill BM** » 12 Jan 2009, 03:22

Tous mes voeux de Bonne Année!

Comment peux-t-on montrer que l'ensemble des suites convergentes est un fermé de l'ensemble des suites bornées.
Je sais montrer que l'ensemble des suites tendant vers zéro est fermé dans celui des suites convergentes, mais j'arrive pas à faire le lien

par **Nightmare** » 12 Jan 2009, 03:40

Salut :happy3:

Une méthode : On considère l'application qui à une suite (un) bornée associe

.
On montre que cette application est continue. L'ensemble des suites convergentes est l'image réciproque de {0} par cette application. {0} étant fermé...

par **quinto** » 12 Jan 2009, 10:23

Bonjour,
ca dépend complétement de la topologie que tu mets dessus. Si tu mets la topologie de la convergence simple c'est complétement faux ... il suffit de considérer la suite des suites qui valent 1 à la ieme place et 0 partout ailleurs.

J'imagine donc que tu parles de la topologie de la convergence uniforme...

par **quinto** » 12 Jan 2009, 12:43

Dans ce cas pour epsilon >0 arbitrairement choisi, tu peux facilement borner Un(x)-U(x) à x entier fixé par un nombre qui ne dépend finalement pas de x.

Fermé de l'ensemble des suites bornées

Fermé de l'ensemble des suites bornées

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