Encadrement de ln(n+1)-ln(n)

[Avitas]

Bonjour, je bloque un peut sur un exercice ou je dois montrer pour tout n>=0
1/(n+1) <= ln(n+1)-ln(n) <= 1/n

J'ai déjà montrer à la question précédente que x/(x+1) <=ln(1+x) <= x pour x>0
Je sais donc que n/(n+1)-ln(n) <= ln(n+1)-ln(n) <= n-ln(n)
J'ai donc voulu montrer n/(n+1)-ln(n) <= 1/(n+1) et n-ln(n) >= 1/n
Ce qui équivaut à ln(n) >= (n-1)/(n+1) et n-1/n >= ln(n)
Et c'est la que je bloque, je ne vois pas du tout comment montrer ces inégalités
Merci d'avance

[Lostounet]

Que se passe-t-il si je te dis:
Ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)?

Et si je te disais de poser x=1/n?

[Avitas]

Pour La première inégalité je ne vois pas trop comment utiliser les propriété de ln vu que les ln ne sont que sur un membre de l'innegalite
et pour la deuxième en posant x=1/n je trouve
1/x-x >= ln(1/x)
soit 1/x-x >= -ln(x)
et j'arrive donc à ln(x) >= x-1/x
ce qui ne m'avance pas beaucoup plus
Je pense donc que je n'ai pas compris ce que tu voulais m'expliquer parceque je suis toujours bloqué :(

[jlb]

Bonjour, je bloque un peut sur un exercice ou je dois montrer pour tout n>=0
1/(n+1) 0
Je sais donc que n/(n+1)-ln(n) = 1/n
Ce qui équivaut à ln(n) >= (n-1)/(n+1) et n-1/n >= ln(n)
Et c'est la que je bloque, je ne vois pas du tout comment montrer ces inégalités
Merci d'avance

Salut, utilise l'inégalité des accroissements finis.
Encadre 1/x pour x dans [n;n+1] et conclus.

[ilikoko123]

l'indication qui t'a été offerte par Lostounet est très suffisante pour conclure car en posant x=1/n

[chan79]

Salut, utilise l'inégalité des accroissements finis.
Encadre 1/x pour x dans [n;n+1] et conclus.

Un peu tard mais il y a cette égalité, pour compléter ce que dit jlb

[Avitas]

Merci beaucoup pour vos réponses j'avais effectivement mal compris ce que voulait me dire Lostounet et du coup je pense que ça va bien m'aider

[Robot]

C'est l'indication de chan79 qui me semble la plus pertinente.

[Lostounet]

C'est l'indication de chan79 qui me semble la plus pertinente.

Bonjour Robot,
Pourquoi? On peut bien poser x = 1/n > 0 non?

[Robot]

Et que se passe-t-il si tu poses x=1/n ??

[Lostounet]

Pour tout x positif, il a été montré:
x/(x+1) <=ln(1+x) <= x
En particulier pour x= 1/n
(1/n)/(1/n + 1) = 1/(n + 1)
donc:
1/(n + 1) <= ln(1 + 1/n) <= 1/n

donc 1/(n + 1) <= ln(n + 1) - ln(n) <= 1/n

Je ne vois pas l'erreur.

[Robot]

OK, autant pour moi, si on part de ces inégalités comme dans l'énoncé il convient de prendre x=1/n.

Simplement, la remarque de chan79 donne immédiatement l'encadrement voulu, sans avoir à se fatiguer à démontrer les inégalités. Mais puisqu'on s'est déjà fatigué ...

[Guimli]

Bonjour, je suis en Terminale et cette question est la première de l’exercice tel que :
1/(x+1)<=ln(x+1)-ln(x)<=1/x

vous parler de poser X = 1/x mais je ne vois pas comment cela nous aide après cela.

Bonne journée

[mathelot]

bonjour,
x est fixé x>0 et t est la variable d'intégration sur le segment [x;x+1]

[Guimli]

Nous n'avons pas encore vue l'intégration

[rcompany]

Ou encore , ce qui évite d'utiliser une intégrale et permet peut-être de s'en tenir au programme de Terminale:







On procède de la même façon pour l'inégalité de gauche en définissant une fonction dont on étudie les variations sur

[pascal16]

on peut utiliser aussi la convexité et la position corde/tangente