Encadrement d'intégrale (par formule de Taylor)

[acteon]

Bonjour, j'ai cet énoncé: soit g une fonction de classe C2 sur [a,b ] et telle que g(a) = g(b) =0
Montrer que l'intégrale de g entre a et b est, en valeur absolue, inférieure ou égale à (b-a)^3 /12 * M
ou M est le sup de | g '' (t)| sur [a,b]

J'ai essayé la formule de Taylor avec reste intégrale bien sûr, après plusieurs tentatives, le résultat le plus proche que j'obtiens est de l'appliquer à une primitive de g, notée G.

L'intégrale cherchée vaut G(b)-G(a) = (b-a) G'(a) + (b-a)^2 /2 G''(a) + l'intégrale de a à b de (b-t)^2 G ''' (t)/2
or G'(a) = 0 et le reste intégral est en valeur absolue plus petit que le (b-a)^3 /12 * M puisque G''' = g''

mais ça ne suffit pas.

J'ai essayé de l'appliquer aussi en b et d'additionner mais je ne sais que faire de ce (b-a)^2 * (G''(a)-G''(b)) , il me faudrait aller jusqu'à G''' plutôt.

Bref je tourne un peu en rond, une idée?

P.S: je suis désolé j'ai essayé de taper tout en équation mais cela ne marche pas, je tape l'équation mais au moment de l'insérer rien ne se passe et tout ce que j'ai tapé dans l'équation et le message s'efface, si quelqu'un a la solution a ce problème je prends aussi!

[pascal16]

g(a) vaut 0 mais pas g'(a)
non, c'est bon tu es sur G(a)

[acteon]

bon en fait c'est bon, on prend f(t) = 1/2 (t-a) (t-b) ou juste (t-a)(t-b) et on considère l'intégrale de f(t)g''(t) dt. D'une part on la majore par sup |g''(t)| . intégrale de |f(t)| facile à calculer, d'autre part on fait deux IPP pour tomber sur l'intégrale de f '' (t) g (t) qui vaut une constante fois l'intégrale recherchée.
merci à ceux qui y ont réfléchi !

[pascal16]

J'allais dire qu le fait que g(b)=0 n'avait pas été utilisé et qu'après recherche, les démos de la formule de Taylor utilise un Ipp avec une fonction annexe.