Dualité

[pluto74]

Bonjour,

J'ai déjà posté un message il y a quelques temps concernant cet exercice, sans être parvenue à le résoudre, je pense avoir avancer mais je reste encore bloqué sur un dernier point ! :marteau: Voici l'exercice

Soit l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, à coefficients réels.
On considère pour i dans l'application de dans par

1°) Montrer que est une base du dual de E
2°) on suppose n = 3. Déterminer une base de dont est la duale.

La question 2) ne me pose plus de soucis, juste du calcul a faire.
En revanche pour la question 1), je pense qu'il serait judicieux de faire un raisonnement par récurrence:
Pour , est forcément libre donc est une base du dual espace vectoriel... etc.
On suppose la propriété vraie pour un entier donc est une famille libre donc ssi . L'idée est donc de prouvée que la famille est libre. mais je ne parviens pas à trouver comment ?

D'avance merci à ceux qui ont du temps à consacrer à cet exercice et pour me répondre !

[ThSQ]

Il suffit de montrer que c'est une famille libre (bicose dimensions tout ça) ce qui se fait sans trop de difficulté.

[pluto74]

prouvée que c'est une famille libre je suis d'accord mais comment ?
pour la dimension l'on sait que mais après ?

[kazeriahm]

Suppose qu'elle est liée.

....

donc que la famille est libre.

Bonsoir,

juste pour être rigoureux : pas besoin de supposer la famille liée

On considère une famille (a_k) telle que somme(a_k f_k) est nulle et on montre que a_k est nul pour tout k donc la famille est libre :we:

[pluto74]

Merci beaucoup pour ces réponses !