Droite

[zork]

Bonjour,

Je me demandais pourquoi dans l'espace projectif , il existe une unique droite passant par deux points différents?


merci

[Ben314]

Parce que, dans , il existe un unique plan vectoriel contenant deux droites vectorielle différentes...

[zork]

donc en faites on ne se place pas dans l'espace projectif pour répondre à la question.

du coup, imaginons que je dois chercher l'équation d'une droite projective passant par deux points. La première chose que je dois faire est de sortir de l'espace projectif.
Mais comment savoir qui est le point à l'infini?

[Ben314]

donc en faites on ne se place pas dans l'espace projectif pour répondre à la question.

du coup, imaginons que je dois chercher l'équation d'une droite projective passant par deux points. La première chose que je dois faire est de sortir de l'espace projectif.
Mais comment savoir qui est le point à l'infini?

La définition de l'espace projectif de dimension sur le corps , c'est l'ensemble des droites vectorielles de (si tu as vu autre chose comme définition, dit le moi, ça m'intéresse...)
Donc tu ne "sort" pas du tout de l'espace projectif lorsque tu dit que la droite projective (donc le plan vectoriel) passant par deux points projectif (donc deux droites vectorielles), c'est bêtement le plan engendré par les deux droites.

Tu peut même écrire que si tes points projectifs sont A et B (ce sont donc des droites vectorielles) le droite qui les relies, c'est A+B (somme de deux s.e.v. distincts de dimension 1 = s.e.v. de dimension 2)

Après, pour ta deuxième question, c'est à la fois simple et... compliqué...
Dans l'espace projectif lui même, vu ça définition, il n'y a absolument aucun point particulier (toutes les droites vectorielles se valent), donc ni "origine" (= vecteur nul dans un espace vectoriel), ni "points à l'infini".

Sauf qu'en fait, pour manipuler l'espace projectif et mieux "le voir", on le regarde souvent comme une "complétion" de l'espace affine (et pas de l'espace vectoriel).
La construction est très simple : dans l'espace vectoriel , tu considère un hyperplan affine ne passant pas par le vecteur nul : à tout point de cet hyperplan affine, tu peut associer la droite vectorielle passant par ce point et, clairement, à deux points distinct, tu associe deux droites distinctes (car ton hyperplan ne contient pas le vecteur nul) donc ça te fourni une application injective (i.e. un "plongement") de l'espace affine dans le plan projectif.
Clairement, cet application n'est pas bijective : les droites vectorielles contenues dans l'hyperplan vectoriel associé à ton hyperplan affine ne coupent pas ce dernier. C'est ces droites vectorielles là (= points projectifs) qui sont "à l'infini".
Sauf que (et c'est là toute l'astuce...) ces points "à l'infini" dépendent de l'hyperplan affine que tu as chois comme "base" pour construire ton injection de l'espace affine dans l'espace projectif.