Droite de simson

[Domitille]

Bonsoir
J'ai un DM sur les droites de Simson et je me retrouve bloquée sur une question.
Je vous mets les premières questions qui servent pour la suite.

1) Soient a,b,c,d quatres points distincts du cercle unité et (ab) et (cd) parallèles. Montrer que ab=cd.
J'ai fait cette question.

2) Montrer que la perpendiculaire à (ab) passant par c coupe le cercle unité en -ab/c
C'est bon aussi pour cette question.

3) Soient a,b,c,d quatre points distincts du cercle unité et (ac) et (bd) perpendiculaires. On note z l'intersection de ces deux droites. Montrer que z=1/2(a+b+c+d)

4) On considère a,b,c,d quatre points distincts du cercle unité et u,v,w les projetés orthogonaux de d sur (bc),(ac) et (ab).
Calculer u,v,w en fonction de a,b,c,d
La je trouve u=1/2(b+c+d-cb/d), v=1/2(a+c+d-ac/d) et w=1/2(a+b+d-ab/d) si je me suis pas trompée.

5) Exprimer (u-v)/(v-w) en fonction de a,b,c,d et en déduire que u,v,w sont alignés.
je pars des expressions trouvées dans la question 4 et je trouve


le problème c'est que à partir de là je n'arrive pas à montrer que u,v et w sont alignés.


Merci d'avance à ceux qui m'aideront à avancer sur cette question

[Ben314]

Je trouve pareil pour le 4) et pour le 5)

Ensuite, il faut (évidement) montrer que le rapport est réel.
Les 4 points sont cocyclique => ... (en terme d'angles) => ...(en terme d'arguments complexes) => O.K.

je te laisse chercher.

[Domitille]

on sait que puisque les points sont cocycliques on a (AB,AD)=(CD,CB) mais je ne vois pas à quoi ça sert pour la suite.

[Ben314]

Tu ne sait pas écrire des angles en terme d'argument de nombre complexes ?
angle(AB,AC)=arg(????) (où a,b,c sont les affixes de A,B,C)

[Domitille]

Si bien sûr, mais je pensais qu'il fallait partir de l'expression trouvée plutôt que du fait que a,b,c,d sont cocycliques.
Je pensais, si je me trompe pas, comme a,b,c,d sont cocycliques, on sait que appartient à R et donc appartient à R et donc u,v,w sont alignés. Non ?

[Ben314]

Oui, je t'avoue que, comme toi j'aurais pensé que le résultat allé tomber "tout cuit" sans avoir besoin d'utiliser de théorème. Il y a peut-être quelque chose qu'on a pas vu...
Sinon, comme ca ca marche parfaitement.

Une derniére (?) remarque sur la condition de cocyclicité, c'est
(AB,AD)=(CB,CD) modulo pi
et pas
(AB,AD)=(CD,CB) (une faute de frappe je suppose...)