Divisibilité de polynômes

[Jacky22]

Bonjour,

Ma question est assez simple : j'ai un polynôme de degré infini et je le divise par un polynôme de degré fini, quel est le degré du polynôme résultant ?
En gros, on a A(x), B(x) tels que deg(A)=\infty et deg(B)=n avec n entier naturel.
D'après moi, on aurait que A(x)/B(x) est également un polynôme de degré infini mais je n'en suis pas trop sur, et je voudrais le démontrer rigoureusement.

Merci d'avance pour vos réponses

[Jacky22]

Personne ne peut me répondre ?

[Rockleader]

Grosso modo, on s'intéresse au degré dominant.

Si tu as

Deg(A)/Deg(B) = oo/n alors c'est évident que ton polynome sera aussi de degré infinie.

[Nightmare]

Hello,

c'est quoi un polynôme de degré infini? A part le polynôme nul à qui on attribut conventionnellement ce degré, je n'en vois pas d'autre.

[Rockleader]

Oui, je ne crois pas qu'on puisse dire qu'un tel polynome existe, mais si c'ets simplement dans un exercice, il peut très bien y avoir une supposition dans ce genre pour faire une sorte de raisonnement par l'absurde, mais ça parait quand même un peu bizarre...

[Jacky22]

C'est un polynôme ayant une infinité de coefficients. Sous certaines conditions, on peut généralement l'écrire comme le ratio de deux polynômes de degré fini (il faut des conditions sur le polynôme au dénominateur).

[Nightmare]

C'est un polynôme ayant une infinité de coefficients.

C'est contraire à la définition d'un polynôme dont les coefficients sont par définition une suite à support fini, c'est à dire que seuls un nombre fini de terme est non nul, donc en particulier un polynôme n'a qu'un nombre fini de coefficients.

[Rockleader]

EN fait ici il serait peut être plus avisé de parler de suite si j'en crois Nightmare.

[Nightmare]

Si l'on parle de suite, l'énoncé n'a plus trop de sens.

[Jacky22]

Merci pour vos réponses!

Evidemment le fait de supposer que c'est à support fini permet d'arranger les choses mais n'est-il pas possible d'avoir un polynôme avec une infinité de coefficients et que la suite de ces coefficients soient à support fini, c'est à dire qu'il existe un nombre fini de ces coefficients qui sont non nuls?

[Nightmare]

C'est tout à fait possible de généraliser les polynômes avec une infinité de coefficients, dans ce cas on dit que l'on travaille avec des [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_formelle"]séries formelles[/url]