Distance sur une sphère

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurais besoin d'un coup de pouce sur un exercice (intéressant) à propos d'une distance sur la sphère unité.

On se donne un entier et on note la sphère unité de .
On notera le produit scalaire dans et la norme euclidienne associée.
On pose, pour , .


1°) J'ai montré que pour tous , .

2°) Soient ; on pose et on note .

a) Montrer que (fait :++:)

b) Exprimer en fonction de , .
Je trouve :
;
;
.

c) En déduire que
je bloque totalement sur cette question...

[mathelot]

Je trouve :

||X||^2= = - = ;
||Z||^2= = - = .

c) En déduire que
.............................................


En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, tu devrais tomber sur le résultat cherché.

remarque
a,b,c sont des arcs de cercles

c < a+b est triviale si

sinon, la fonction cos() est décroissante sur et
on sait que les sinus sont positifs.

[capitaine nuggets]

Je trouve :

||X||^2= = - = ;
||Z||^2= = - = .

c) En déduire que
.............................................


En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, tu devrais tomber sur le résultat cherché.

remarque
a,b,c sont des arcs de cercles

c < a+b est triviale si

sinon, la fonction cos() est décroissante sur et les sinus sont positifs.

Ah mince, oui, j'avais oublier ces histoires de carré aux normes :++:
Je vais voir avec l'inégalité de cauchy-Schwarz.

Par contre, je vois pas l'évidence dans ta remarque...

[mathelot]

désolé


Arccos() inverse la bijection décroissante suivante





on remarque





d'où, si , il n'y a rien à démontrer,

et sinon, on passe au cos.


(attention, la bijection réciproque d'une fonction décroissante l'est également

)

[capitaine nuggets]

Je trouve :

||X||^2= = - = ;
||Z||^2= = - = .

c) En déduire que
.............................................


En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, tu devrais tomber sur le résultat cherché.

remarque
a,b,c sont des arcs de cercles

c < a+b est triviale si

sinon, la fonction cos() est décroissante sur et
on sait que les sinus sont positifs.

Après quelques essais, je ne parviens pas à trouver le résultat en utilisant l'inégalité de cauchy-Schwarz. Je vois pas vraiment comment démarrer...

[mathelot]

||X||=sin(a) car


||Z||=sin(c)

si il y a rien à faire, sinon

équivaut à

développer et faire le lien avec Cauchy-Schwarz (j'ai démarré avec CS
en espérant trouver quelque chose qui ressemble à cos(b+c))

remarque on peut utiliser

[capitaine nuggets]

[quote="mathelot"]||X||=sin(a) car
||Z||=sin(c)

si il y a rien à faire, sinon

équivaut à

développer et faire le lien avec Cauchy-Schwarz

remarque




alors c'est évident ;
- Si alors donc :

;
;
;
;

Je vois pas comment poursuivre...
D'ailleurs, je trouve ça bizarre : dans le deuxième cas, on suppose ce qu'on veut montrer...

[Ben314]

;
;
.

Donc l'inégalité de Cauchy-Schwarz te dit que
C'est à dire
Ce qui implique (inégalité de gauche) que

C'est là que 2 cas se présentent :
- Soit et, vu que on a bien
- Soit et les deux réels et sont tout les deux dans l'intervalle sur lequel la fonction est strictement décroissante donc l'inégalité implique

[capitaine nuggets]

Donc l'inégalité de Cauchy-Schwarz te dit que
C'est à dire
Ce qui implique (inégalité de gauche) que

C'est là que 2 cas se présentent :
- Soit et, vu que on a bien
- Soit et les deux réels et sont tout les deux dans l'intervalle sur lequel la fonction est strictement décroissante donc l'inégalité implique

Ah d'accord, j'ai compris merci beaucoup :++:

A la question suivante, on me demande de montrer que est une distance.
Là, ce n'est pas très dur étant donné qu'on vient de montrer (vous surtout ^^) . :+++:


- Ensuite, on me demande d'exprimer, pour dans , en fonction de . Voici ce que j'ai fait :






Je ne sais pas si mon résultat est bon, car pour la question suivante, j'obtiens une contradiction :

- Je dois ensuite montrer que, toujours pour dans , on a :


D'après ce que j'ai trouvé précédemment, je devrais donc montrer que :


Vu que , en posant , cela reviendrait à montrer que :

Or cela me semblait louche alors j'ai tracé les courbes représentatives des fonctions associées et il se trouve qu'aucunes de ces inégalité n'est vraie...
Du coup, je me demande où ai-je bien pu me planter...

[Ben314]

Rebelote : c'est le carré de la norme de X...

(et ..)

[capitaine nuggets]

Rebelote : c'est le carré de la norme de X...

(et ..)

Oh ! :hum:
Merci, je sais pas ce que j'ai à jamais vouloir mettre le carré :++:
Je revois mes calculs :+++:

[mathelot]

Je dois montrer que donc en m'inspirant de ce que tu as fait, je dirai que :
- Si alors c'est évident ;
- Si alors donc :

; <--- le cos est décroissant
;
;
D'ailleurs, je trouve ça bizarre : dans le deuxième cas, on suppose ce qu'on veut montrer...

..............

[mathelot]

@capitaine nuggets:

Sur une sphère, on est situé sur un espace (compact) à courbure positive
(le plan est de courbure nulle)

la distance sur la sphère vient de CS (on sait que CS se démontre avec un trinome positif
en de discriminant négatif)




la courbure des sphères provient donc de l'absence de carré négatif dans les
réels (qui servent de coordonnées.)

si tu transposes à la phys, où la courbure dépend de la quantité de Matière,
on remarque que la forme quadratique de Lorentz contient un carré de signature négative,
le temps.

:petard:

[capitaine nuggets]

@capitaine nuggets:

Sur une sphère, on est situé sur un espace (compact) à courbure positive
(le plan est de courbure nulle)

la distance sur la sphère vient de CS (on sait que CS se démontre avec un trinome positif
en de discriminant négatif)

la courbure des sphères provient donc de l'absence de carré négatif dans les
réels (qui servent de coordonnées.)

si tu transposes à la phys, où la courbure dépend de la quantité de Matière,
on remarque que la forme quadratique de Lorentz contient un carré de signature négative,
le temps.

:petard:

Je ne suis pas très familier avec la notion de courbure.
Oui, il me semble d'ailleurs qu'on peut écrire cette forme quadratique comme étant ; sign(3,1) donc la matrice admet trois 1 et un -1 sur la diagonale. Mais ca remonte un peu ^^