[Algèbre Linéaire] Dimension de l'espace caractéristique.

[chnafon]

Salut à tous.

Je recherche une preuve compréhensible du théorème qui dit que l'espace caractéristique a pour dimension la multiplicité de sa valeur propre associée. :help:

Merci d'avance! :lol3:

[Maxmau]

Salut à tous.

Je recherche une preuve compréhensible du théorème qui dit que l'espace caractéristique a pour dimension la multiplicité de sa valeur propre associée. :help:

Merci d'avance! :lol3:

Bj
Je ne vois pas de solution simple
C'est une retombée de la "diagonalisation" par blocs comme application du lemme des noyaux.

Tout ce que je peux te donner est un schema de preuve:

Soit f un endomorphisme de l’espace E (dimE=n)
On suppose que le caractéristique de f , K(X), est scindé
Les vp distinctes de f sont t1 , t2 , ……….,tk
La multiplicité de ti est notée mi
Fi est le sev caractéristique associé à la vp ti
La dimension de Fi est notée ni

Schema de preuve
E est somme directe des Fi (lemme des noyaux)
Chaque Fi est stable par f. La restriction de f à Fi est noté fi.
L’endomorphisme de Fi: wi = ui - ti Id est nilpotent d’où ui = ti Id + wi où wi nilpotent
Ki(X) le caractéristique de ui est donc égal à Ki(X) = ( ti - X)^ni
Comme E est somme directe des Fi , on a alors:
K(X) = K1(X)K2(X)……….Kk(X)
D’où: mi = ni