Dimension et application linéaire

[Mysterion]

Salut,

Une propriétés sur les applications linéaires que je n'arrive pas à démontrer :

Soient E,F,G des espaces vectoriels de dimension finie, et U:E->F et V:F->G deux applications linéaires :

a. dim(ker VoU) <= dim(ker V) + dim(ker U)

b. rg(VoU) <= min(rgV, rgU)

J'ai tentée des trucs avec le théorème du rang, mais au final je tourne en rond...

Qu'elle est l'astuce ?

[Doraki]

Regarde la restriction de U à ker(V°U), qui va de ker (V°U) dans ker (V)

[Mysterion]

Regarde la restriction de U à ker(U°V), qui va de ker (V°U) dans ker (V)

faut-il prouver que ker (V°U) et ker (V) sont en bijection ?

[Doraki]

Absolument pas. Rien ne dit que la restriction de U à ker (V°U) soit injective ni qu'elle soit surjective dans ker V.
Mais par contre, tu peux essayer de lui appliquer le théorème du rang.

[Mysterion]

Absolument pas. Rien ne dit que la restriction de U à ker (V°U) soit injective ni qu'elle soit surjective dans ker V.
Mais par contre, tu peux essayer de lui appliquer le théorème du rang.

Merci ! Tout est claire.