Differentielle fonction

[Marcet003]

Bonjour,

Je bloque sur la fonction suivante :



Selon le corrigé, elle est différentiable en . Pour cela, je montre que les dérivées partielle de ma fonction existent et qu'elles sont continues en .
Pour ce qui concerne la variable x j'ai :

Et j'ai ensuite en calculant explicitement la dérivée partielle selon x que :


Mais lorsque je passe à la limite en de la dérivée partielles, je ne trouve pas 1 mais que la limite n'est pas définie (par exemple en passant par les coordonnées polaires ) à cause du dernier terme qui ne s'annule pas.
Je ne sais pas ce qu'il y a de faux...
Merci d'avance,...

[Ben314]

Salut,
Ce que tu as fait me semble correct et ça montre que la dérivées partielles en x n'est pas continue en (0,0) donc que la fonction f n'est pas de classe C^1 (= différentiable et de différentielle continue).
Par contre, ça n'exclu pas qu'elle soit différentiable (avec une différentielle non continue).

[Marcet003]

Bonjour,
Merci beaucoup pour la réponse !
J'avais en tête le thm. qui garantit la différentiabilité d'une fonction en un pt. en stipulant que si les dérivées partielles d'une fct. existent et son continues en ledit pt., alors la fct. est différentiable en ce pt.
Mais j'avais oublié que la réciproque de ce thm. est fausse ou que la condition qu'il donne est plus que suffisante...

[Ben314]

Le théorème dont tu parle, c'est bien une équivalence, sauf que c'est une équivalence entre
- Les différentielles partielles de f existent et sont continues (sur un ouvert U)
- La fonction f est de classe C^1 (sur U)
Et par contre, ce qui n'est (évidement) pas une équivalence, c'est "f est différentiable" et "f est C^1".