Différentielle d'une fonction à valeurs dans un espace de Ba

[vitaliParadox]

On rappelle qu'une application H de E (R-ev de dimension finie) dans R est différentiable en s'il existe une application linéaire daH telle que H(a+h)=H(a)+daH(h)+||h||e(h) où lim e(h)=0 quand h->0. Si H est à valeur dans un espace vectoriel de dimension finie F, H est différentiable en a si chacune des composantes sont différentiables en a.
J'aimerais généraliser cette définition au cas où E et F sont des espaces de Banach (de dimension infinie). Pour cela, je propose:
H de E (de dimension infinie) dans R est fortement différentiable (resp. faiblement différentiable) en a s'il existe un opérateur linéaire continu daH de E dans R (équivalent à daH continu de E faible dans R(voir Brezis)) tel que H(a+h)=H(a)+daH(h)+||h||e(h) où lim e(h)=0 lorsque h converge fortement (resp. faiblement) vers 0.
Si H est de E dans F (également Banach), alors H est différentiable en a si pour tout f dans F' (dual topo), l'application qui à x associe est différentiable.
Je voudrais savoir si:
1) Ma définition est-elle bonne (cela doit exister mais je n'arrive pas à la trouver sur internet).
2) Les différentiabilités forte et faible sont-elles équivalentes et si oui, les différentielles fortes et faibles sont-elles égales.
Merci de vos contributions.

[vitaliParadox]

Pour infos, les termes "faiblement" et "fortement" différentiables sont de mon cru et ils existent également et n'ont pas le même sens (voir espace de Sobolev pour l'autre sens). Ici, j'ai utilisé cette terminologie pour faire référence à la topo forte et faible lorsque que je considère h tend vers 0.

[Ben314]

Salut,
Il me semble que la définition la plus commune que l'on trouve dans la littérature est la suivante :
Soit E et F deux espaces vectoriels normés, f une application d'un ouvert U de E dans F et un point de U.
On dit que f est différentiable en lorsqu'il existe une application linéaire continue L:E->F telle que

ce qui correspond à ton "fortement différentiable".

Dans le cas où F est uniquement un espace vectoriel topologique (par exemple un e.v.n. muni de la topo faible), on peut étendre la définition en écrivant


Mais dans le cas où E est uniquement un espace vectoriel topologique, il n'y a plus de donc on ne peut rien écrire d'équivalent.
On peut bien sûr considérer qu'on a une norme sur E qui permet de calculer le ET une autre topologie sur E qui elle définie le du début, mais je ne sais pas si ce "mélange des genres" est bien naturel (il correspond à ta "différentielle faible) et personnellement, je n'ai pas souvenir d'avoir déjà jamais utilisé une telle notion (évidement, ça ne prouve rien...)

Concernant ton :
"Si H est de E dans F (également Banach), alors H est différentiable en a si pour tout f dans F' (dual topo), l'application qui à x associe est différentiable."
Ce n'est donc pas la définition usuelle de différentiabilité pour une fonction entre deux espaces de Banach. Elle est clairement plus faible que la définition usuelle et, à mon avis, elle est strictement plus faible (à vérifier...)

Concernant la deuxième question, de même, j'aurais tendance à penser que tes deux définitions ne sont pas équivalente (à vérifier...) par contre un truc évident c'est que, si f est "faiblement différentiable" alors elle est "fortement différentiable" avec la même différentielle vu que, si ton e(h) tend vers 0 lorsque h tend faiblement vers 0, alors il tend évidement aussi vers 0 lorsque h tend fortement vers 0.