Différentielle de la fonction puissance d'une matrice

[epanadiplose]

Bonjour,

J'ai un exo de calcul diff où je dois calculer la différentielle de la fonction puissance d'une matrice :

Enoncé :

1) Montrer que l'application est différentiable et que . Est-elle de classe ?
2) En déduire que est différentiable et que .
3) En déduire une formule générale de la différentielle de , pour k entier naturel (Indication : raisonner par récurrence sur k).

Alors, pour la 1), c'est bon, sauf pour ce qui est de savoir si elle est ou pas...
Pour voir si elle est , il faut voir si est continue de dans . Je ne vois pas du tout comment procéder...

Pour la 2), j'ai bien trouvé ça en calculant "directement" (c'est-à-dire en développant ), mais je n'arrive pas à retrouver ce résultat à partir de la question 1) (et j'imagine que c'est ce genre de raisonnement qu'il faut faire à la question 3).
Voici que que j'ai fait pour la question 2) pour la version "en déduire" :
.
On sait que et que


Et je ne retombe pas du tout sur le résultat voulu...

Où est mon erreur ?

Merci d'avance pour votre aide !

[GaBuZoMeu]

Tout simplement du fait que

[epanadiplose]

C'était donc ça ! Effectivement, ça résout le problème !
Merci bcp !

Et pour ce qui est de savoir si est ? J'imagine que si on nous pose la question, c'est que la réponse est "non"... Mais je ne vois pas comment le démontrer...

[GaBuZoMeu]

Bah, c'est beaucoup mieux que ! Toutes les fonctions coordonnées de sont polynomiales (en les coefficients de ).