Différentiabilité de la norme 1

[marawita1]

On définit la norme 1 sur R^2 par || (x, y)||_1 = |x| + | y|.
Je vais étudier la différentiabilité de cette norme. On sait que cette application n'est pas différentiable au point (0,0), de plus j'ai montré que cette norme n'est pas différentiable en (0, y) et (x, 0) pour tout x,y dans R.

Mai,s je ne peux pas montrer que cette application est différentiable ailleurs.

Qui peut m'aider?
Merci d'avance.

[remullen2000]

Bonjour,

Comme souvent quand on veut différencier, on utilise la définition!
on calcule f(a+h)=................... avec a dans R2 et h "petit" dans R2.

[mrif]

Mai,s je ne peux pas montrer que cette application est différentiable ailleurs.

Dans ce cas où sont des constantes valant 1 ou -1 selon le signe de x et y. Donc différentiable.

[SLA]

Dans ce cas où sont des constantes valant 1 ou -1 selon le signe de x et y. Donc différentiable.

Encore faut-il montrer que epsilon_1 et epsilon_2 sont localement constante. Sinon cet argument montrerait que la norme1 est différentiable partout...

[mrif]

Encore faut-il montrer que epsilon_1 et epsilon_2 sont localement constante. Sinon cet argument montrerait que la norme1 est différentiable partout...

Je pense que tu n'as pas suivi la discussion. Je répondais à la question de différentaibilité sur la partie privé des droites x=0 et y = 0. Je développe la solution que j'ai proposée:
Cette partie est la réunion de 4 quarts-plans ouverts:





La norme est différentiable sur chacun de ces ouverts donc elle est différentiable sur leur union.

[SLA]

Je pense que tu n'as pas suivi la discussion. Je répondais à la question de différentaibilité sur la partie privé des droites x=0 et y = 0. Je développe la solution que j'ai proposée:
Cette partie est la réunion de 4 quarts-plans ouverts:





La norme est différentiable sur chacun de ces ouverts donc elle est différentiable sur leur union.

Salut,
Si, j'ai bien suivi. Je disais juste que tel que c'est écrit, ça ne suffit pas.
Tu as écris avec epsilon_1 et epsilon_2 qui valent +1 ou -1. (j'ajoute la dépendance en x et y des epsilon). Et tu dis que ça permets de conclure la différentiabilité.
J'ajoutais juste qu'il faut montrer que epsilon_1 et epsilon_2 sont localement constante (ce qui revient selon le contexte à montrer qu'elle sont continues), pour conclure. Sinon, on a un paquet de contre-exemple.
Bien sûr, quand on étudie la norme1 sur les quatre domaines que tu viens de décrire, on obtient bien le résultat que tu as annoncé.
@marawita1: je pense que tout a été dit dans ce fil. Tu peux commencer par l'idée de remullen2000 et exploiter les indications de mrif.
Cordialement

[mrif]

Salut,
Si, j'ai bien suivi. Je disais juste que tel que c'est écrit, ça ne suffit pas.
Tu as écris avec epsilon_1 et epsilon_2 qui valent +1 ou -1. (j'ajoute la dépendance en x et y des epsilon). Et tu dis que ça permets de conclure la différentiabilité.
J'ajoutais juste qu'il faut montrer que epsilon_1 et epsilon_2 sont localement constante (ce qui revient selon le contexte à montrer qu'elle sont continues), pour conclure.

Si on se limite uniquement à ce que j'ai écrit, et en dehors du contexte, ça ne démontre rien et ça va de soi. Je n'ai pas rédigé une solution (puisque ce n'est pas le but), j'ai donné une idée qui permet d'avancer vers une solution. Si j'avais détaillé en donnant les valeurs de et selon les signes de x et y, comme je l'ai fait dans ma réponse à ton précédent message, j'aurais résolu la question.

Mise à part cette pranthèse, je suis complètement d'accord avec tout ce que tu as écrit.

[marawita1]

Merci bien à vous.