Différence définition de suite convergente/limite de suite

[Kugge]

Bonjour, la définition de suite convergente que nous avons donné en cours est la suivante :
Pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout n > N alors |Un-l| < epsilon
Or cette définition est la même que la définition d'une suite qui tend vers un réel l

Donc il-y-a t'il vraiment besoin de faire un raisonnement par l'absurde lorsque nous voulons montrer qu'une suite convergente admet nécessairement une limite unique ?

[GaBuZoMeu]

Peut-être as-tu mal noté ?
Une suite est dite convergente si et seulement s'il existe un réel tel que pour tout etc..
Tu as oublié la quantification existentielle sur .

Cette définition de suite convergente demande l'existence d'un vérifiant ...;
Rien ne dit qu'un tel est unique, tant qu'on ne l'a pas démontré.

[Kugge]

Peut-être as-tu mal noté ?
Une suite est dite convergente si et seulement s'il existe un réel tel que pour tout etc..
Tu as oublié la quantification existentielle sur .

Cette définition de suite convergente demande l'existence d'un vérifiant ...;
Rien ne dit qu'un tel est unique, tant qu'on ne l'a pas démontré.

En effet! Cependant n'admet-on pas que le "l" dont il est question est nécessairement unique lorsqu'une suite est convergente ? (il s'agirait donc de dire directement "s'il existe un réel unique tq...")

[LB2]

Non on ne l'admet pas, c'est un propriété qu'on peut démontrer (en tout cas dans R). C'est l'unicité de la limite.

[Kugge]

Non on ne l'admet pas, c'est un propriété qu'on peut démontrer (en tout cas dans R). C'est l'unicité de la limite.

Ok, merci (le flou est levé)

[tournesol]

La limite est unique dans un espace métrique , et plus généralement dans tout espace topologique séparé .
En conclusion , l'unicité de la limite est une propriété très générale . Mais elle se démontre toujours dans les cas que je viens de te citer .