Différence définition de suite convergente/limite de suite

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Kugge
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Différence définition de suite convergente/limite de suite

par Kugge » 26 Fév 2020, 19:19

Bonjour, la définition de suite convergente que nous avons donné en cours est la suivante :
Pour tout epsilon strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout n > N alors |Un-l| < epsilon
Or cette définition est la même que la définition d'une suite qui tend vers un réel l

Donc il-y-a t'il vraiment besoin de faire un raisonnement par l'absurde lorsque nous voulons montrer qu'une suite convergente admet nécessairement une limite unique ?



GaBuZoMeu
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Re: Différence définition de suite convergente/limite de sui

par GaBuZoMeu » 26 Fév 2020, 19:28

Peut-être as-tu mal noté ?
Une suite est dite convergente si et seulement s'il existe un réel tel que pour tout etc..
Tu as oublié la quantification existentielle sur .

Cette définition de suite convergente demande l'existence d'un vérifiant ...;
Rien ne dit qu'un tel est unique, tant qu'on ne l'a pas démontré.

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Kugge
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Re: Différence définition de suite convergente/limite de sui

par Kugge » 26 Fév 2020, 19:33

GaBuZoMeu a écrit:Peut-être as-tu mal noté ?
Une suite est dite convergente si et seulement s'il existe un réel tel que pour tout etc..
Tu as oublié la quantification existentielle sur .

Cette définition de suite convergente demande l'existence d'un vérifiant ...;
Rien ne dit qu'un tel est unique, tant qu'on ne l'a pas démontré.


En effet! Cependant n'admet-on pas que le "l" dont il est question est nécessairement unique lorsqu'une suite est convergente ? (il s'agirait donc de dire directement "s'il existe un réel unique tq...")

LB2
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Re: Différence définition de suite convergente/limite de sui

par LB2 » 26 Fév 2020, 19:36

Non on ne l'admet pas, c'est un propriété qu'on peut démontrer (en tout cas dans R). C'est l'unicité de la limite.

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Kugge
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Re: Différence définition de suite convergente/limite de sui

par Kugge » 26 Fév 2020, 19:39

LB2 a écrit:Non on ne l'admet pas, c'est un propriété qu'on peut démontrer (en tout cas dans R). C'est l'unicité de la limite.

Ok, merci (le flou est levé)

tournesol
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Re: Différence définition de suite convergente/limite de sui

par tournesol » 26 Fév 2020, 22:43

La limite est unique dans un espace métrique , et plus généralement dans tout espace topologique séparé .
En conclusion , l'unicité de la limite est une propriété très générale . Mais elle se démontre toujours dans les cas que je viens de te citer .

 

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