Eq diff avec complexes

[Yozamu]

Bonjour à tous.

J'ai un petit probleme sur un exo.

J'ai l'eq diff suivante:
y'+3y=xcosx

C'est donc: y'+3y=Re(x.exp(ix))
Premiere question, pourquoi la partie reelle de x.exp(ix)?
Je savais que cosx=Re(exp(ix)) c'est tout!

Ensuite, on a donc une solution particuliere de la forme:
y=(ax+b)exp(ix)
Avec a et b deux complexes!
Et je ne comprends pas pourquoi ce sont des complexes ?

Merci d'avance

[Luc]

Bonjour,

on utilise ici les complexes car c'est plus facile de trouver des solutions particulières avec l'exponentielle complexe qu'avec des cosinus et sinus. Quand on dérive une exponentielle, même complexe, on retombe sur une exponentielle, alors que cosinus devient sinus et vice versa, avec en plus des problèmes de signe. On pourrait faire l'exercice sans, mais il serait moins pratique de chercher une solution particulière. On ne saurait pas vraiment sous quelle forme il faut la chercher.

En un sens, on résout donc une équation plus générale, puis on passe à la partie réelle.
Ce recours aux nombres complexes est ultra-classique, et est utilisé de la même façon en physique (en électronique/électricité notamment).

Comme exp(ix)=cos(x)+isin(x), on a le droit de multiplier cette égalité par le nombre réel x.
Il vient alors xexp(ix)=xcos(x)+ixsin(x), d'où le résultat.

[Yozamu]

Ah ok c'est bien ce que je pensais, merci Luc!