La dichotomie

[AceVentura]

Bonjour.
Avec les mêmes définitions qu'ici :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=102686

je souhaite caractériser la convergence de la méthode de dichotomie. Je précise par rapport au message cité en lien ci-dessus que la convergence est dite :
lente si
géométrique
rapide

Notant et les suites construites par cette méthode, on sait qu'elles sont adjacentes, convergent vers la même limite l et qu'elles vérifient :
[CENTER] et [/CENTER]

Mais comment obtenir une information sur le coefficient de convergence ? J'ai regardé un peu sur le net et il semble que la convergence est lente. Mais je ne parviens pas à le prouver.

[Ben314]

Ben, vu les formules que tu donne, j'aurais tendance à dire que, sauf cas "exeptionnel", la convergence est géométrique avec un rapport de 1/2...

[AceVentura]

Salut Ben.
Peux-tu me dire ce que tu penses de la remarque 5.4 page 92 de ce pdf : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/Capes/AnalyseChap5.pdfhttp://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ ... eChap5.pdf (c'est en rapport je pense avec cet exemple).

Sinon, il est vrai que si avec , la convergence est géométrique. Mais la majoration obtenue ici donne-t-elle une telle équivalence ?

[Doraki]

la suite (an) est assez "irrégulière".
Soit an+1 = an donc (an+1 - l)/(an - l) = 1
Soit an+1 = (an+bn)/2 et (an+1 - l)/(an - l) <= 1/2

Le coefficient de convergence risque fort de ne pas exister.

[Ben314]

Doraki a parfaitement raison (comme toujours) : je m'était laissé allé à prendre une définition plus "ouverte" de la vitesse de convergence qui n'est pas celle qui est prise dans le texte que tu cite qui est trés "stricte".

Sinon, il est vrai que si avec , la convergence est géométrique. Mais la majoration obtenue ici donne-t-elle une telle équivalence ?

Justement, non, on n'a qu'une majoration et pas d'équivalent.

[AceVentura]

Ok. Ce que je lis donc dans les documents, caractérisant la méthode de la dichotomie comme lente n'est donc pas dans le sens "convergence lente". Merci.