Diagonalisation "matriciel"des endomorphismes normaux réel

[NICO 97]

Bonjour, je n’arrive pas à comprendre une chose concernant la diagonalisation des endomorphismes normaux
Si je considère un endomorphisme f normal défini sur un Rev euclidien E. Supposons que j’ai sa matrice A dans une bon. Il est clair que f n’est pas forcément diagonalisable, cad, E n’admet pas forcément de bon constitué de vp.
A pouvant être vu comme une matrice complexe (c’est l’argument), cette matrice est diagonalisable dans C
Ce qui me choque, c’est qu’elle soit diagonalisable par une matrice de passage unitaire ( ? ), alors même que nous savons que E ne possède pas forcément de bon constitué de vp !!!
J’ai beau retourné la chose dans tout les sens depuis vraiment longtemps, je n’arrive pas à voir pourquoi ça marche.
L’idée serait peut-être de dire que A est la matrice d’un endomorphisme normal f’ d’une espace hermitien E’ parce que A est complexe, mais alors, toute les matrices complexes seraient normales, ce qui n’a pas de sens.
Si quelqu’un pouvait m’éclairer sur ce point, je l’en remercie d’avance.

[R.C.]

Bonjour,
Je vais essayer de t'éclairer un peu. Regardons d'abord la différence entre endomorphisme normal f sur un espace euclidien E et endomorphisme normal h sur un espace hermitien H.
La différence fondamentale vient en fait (oui bon ça va peut-être sembler un peu bateau) du fait que C est alg. clos alors que R ne l'est pas. En effet, dire que f ou h est normal, ça revient à dire que s'ils stabilisent un sev de E ou H, alors ils stabilisent sont orthogonal (euclidien ou hermitien). Alors le truc pour pouvoir diagonaliser, c'est de trouver un moyen de dire : je prend un endo (quelconque) sur un espace vectoriel (quelconque) reel ou complexe, je peux trouver une valeur propre. Ensuite, tu raisonnes par récurrence. Maintenant, sur un espace réel, tu ne pourras pas trouver de valeur propre (parce que ton polynôme caractéristique n'est pas forcément scindé) : ex : une matrice de rotation bien choisie dans R². Par contre sur C tu peux toujours trouver une valeur propre, mais dans le cas non normal, tu ne peux que trigonaliser ton endo dans un bon. Voila pour la différence.
Passons maintenant au rapport entre les deux cas. Prenons donc f normal sur E, mais qui ne soit pas diagonalisable dans une bon et disons que A soit sa matrice dans une certaine base (e1,...,en). Maintenant, A est à coefficients réel, et je peux très bien la considérer comme à coefficients complexes A'. A ce moment là, elle reste normale, et je peux trouver une matrice unitaire qui la diagonalise. Mais que s'est-il passé au niveau des endo? Et bien en fait, ta matrice A' est la matrice d'un endomorphisme f' "complexifié" de f : f' va de l'espace E' complexifié de E (c'est-à-dire que tu prend en fait le C-ev engendré par e1,...en) dans E', et à ei associe f(ei), et est C-linéaire. Tu ne te trouves plus dans le même espace : il est deux fois plus gros en quelque sorte. D'ailleurs tu remarqueras en passant que les matrices orthogonales sont incluses dans les unitaires.
Prenons l'exemple de la rotation d'angle pi/2 (elle est normale, je te laisse le vérifier). Ses vp sont +-i. Elle est donc pas diagonalisable dans R². Si tu la vois dans M(2,C) par contre c'est bon. Au niveau endo, r' est une "rotation" dans C² : c'est plus compliqué à voir, mais si tu fais la diagonalisation matricielle, tu trouveras la bon qu'il faut (qui sera complexe d'ailleurs).
En conclusion : quand tu complexifie, tu enrichis de beaucoup ton espace ce qui fait que tu peux trouver un diagonalisation.
Voila, je ne sais pas si c'est très clair, mais en principe, c'est juste.