Th de réduction d'endomorphismes normaux

[ludo56]

Bonjour,

Soit E un espace euclidien.

Je cherche à savoir si on peut démontrer le théorème de réduction d'un endomorphisme orthogonal, celui pour les endom. sym. ainsi que celui pour les endom. antisym., grâce au théorème de réduction d'un endomorphisme normal...

Voici les énoncés :

Théorème 1 : (réduction d'un endom. normal)
Soit f L(E) un endom. normal alors une bon B de E tq :

où = matrice ( , - , , )

Théorème 2 : (réduction d'un endom. orthogonal)
Soit f L(E) un endom. orthogonal alors une bon B de E tq :

où , = matrice de rotation d'angle ne congrue pas à 0 modulo pi.

Théorème 3 : (réduction d'un endom. antisymétrique)
Soit f L(E) un endom. antisymétrique alors une bon B de E tq :
=
où , = matrice ( 0 , - , , 0 )

[Nightmare]

Salut !

Oui ça se fait bien ! Par exemple pour un endomorphisme symétrique.

C'est un endomorphisme normal en particulier donc dans une base orthonormée sa matrice est de la forme où

En passant à la transposée, comme la matrice est symétrique on en déduit que les sont symétriques donc et M est diagonale. CQFD.

Même genre d'idée pour les autres !

[ludo56]

cool! il fallait y penser ! merci je vais voir pour les autres

[ludo56]

re-bonjour,

je n'arrive pas à déduire du th sur les endo normaux, le th sur les endo orthogonaux , y a -t-il qqun qui sache?
merci!

[ludo56]

En fait je crois que j'ai réussi, c'est en faisant les inverses des matrices blocs...

[ludo56]

par contre je ne vois pas pourquoi les angles ne doivent pas être congrus à 0 modulo pi???

[yos]

Angle nul donne la matrice , et angle pi donne la matrice . Or cette partie est reléguée dans la première partie de la diagonale : les .

[ludo56]

effectivement c'est tout bête!merci