Problème d'endomorphisme normaux

[beeeeeennnnnn]

Voila un exercice que je cherche à résoudre :
Soient u,v endomorphisme de E.
a) On suppose u,v normaux et que u°v = 0 . Mq v°u = 0
b) On suppose que u°v = v°u et que u est normal. Mq u*°v=v°u* et que u°v*=v*°u.

Je tourne en rond, j'essaie de bidouiller le produit scalaire mais je trouve rien...
D'autant plus que les endomorphismes normaux n'ont pas beaucoup de propriétés intéressantes contrairement aux hermitiens et aux unitaires :cry:

Merci pour votre aide !!!

[yos]

Bonsoir.
Utilise le fait que E est somme directe orthogonale de Im u et de ker u (pareil pour v).

[beeeeeennnnnn]

Ok je vais essayer ça. Merci Yos.

[Maxmau]

Bj

a/ méthode matricielle
rappel : les endomorphismes normaux sont les endomorphismes diagonalisables en base orthonormée.
on a uv=0 ou ce qui revient au même : Imv contenu dans Ker u
Il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice A de u est diagonale
Si dimKer u =r , on peut faire en sorte que Ker u soit engendré par les r premiers vecteurs de base, les (n-r) derniers vecteurs étant des VP correspondant à des vp non nulles (n est la dim de l’espace) . A ce partage de la base en 2 correspondent 4 blocs dans les matrices.
Dans cette base v admet une matrice B normale. Comment se traduit sur B la condition Imv contenu dans Ker u. Traduis aussi le fait que B est normale. Ca devrait marcher.

[alavacommejetepousse]

ce que propose yos est immédiat

Imv c ker u = (Imu )orth

donc (Im u ) c (Imv )orth = kerv