Diagonalisation de matrices

par **Science** » 27 Jan 2010, 18:08

Bonjour les amis j'aimerais savoir pourquoi si A est une matrice diagonalisable et que det(A-YI)=0 alors Y est une valeur propre de A ? I étant la matrice identité, et Y un scalaire.

Merci de votre réponse

Cordialement

Science

par **Nightmare** » 27 Jan 2010, 18:20

Salut,

quelle est la définition d'un vecteur propre pour toi? Que veut dire que det(A-YI)=0 pour le noyaux de A-YI?

par **Science** » 27 Jan 2010, 18:29

Nightmare a écrit:Salut,

quelle est la définition d'un vecteur propre pour toi? Que veut dire que det(A-YI)=0 pour le noyaux de A-YI?

Des vecteurs propres associés à Y sont des vecteurs V tels que AV=YV avec A une matrice diagonalisable.

Quant au noyau, ba en fait je l'ai pas vu, on l'a juste vu vite fait dans un exercice

par **Nightmare** » 27 Jan 2010, 18:46

Le fait que det(A-yI)=0 se traduit par le fait que la matrice A-yI est non-injective ou en terme de noyau, que son noyau est non réduit à {0}. Il existe donc un vecteur x tel que (A-yI)=x, c'est à dire tel que Ax=yx.

:happy3:

par **Nightmare** » 27 Jan 2010, 18:53

Je précise tout de même que je me situe dans un espace vectoriel de dimension finie. En dimension infinie c'est plus compliqué.

par **Science** » 27 Jan 2010, 19:06

Nightmare a écrit:Je précise tout de même que je me situe dans un espace vectoriel de dimension finie. En dimension infinie c'est plus compliqué.

Merci de ta réponse

Mais pourquoi cela se traduit-il par la non injectivité de l'endomorphisme associé?

par **Nightmare** » 27 Jan 2010, 19:10

Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice pour toi?

par **Science** » 27 Jan 2010, 19:27

Nightmare a écrit:Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice pour toi?

c'est le déterminant des vecteurs colonnes lol

par **Ben314** » 27 Jan 2010, 19:28

Nightmare a écrit:Je précise tout de même que je me situe dans un espace vectoriel de dimension finie. En dimension infinie c'est plus compliqué.

Surtout en ce qui concerne le calcul des déterminants... :zen:

par **Nightmare** » 27 Jan 2010, 19:32

Et c'est quoi le déterminant des vecteurs colonnes?

par **Nightmare** » 27 Jan 2010, 19:33

Ben314 a écrit:Surtout en ce qui concerne le calcul des déterminants... :zen:

Certes, mais à priori on peut définir le polynôme caractéristique sans déterminant, d'où le fait que je dise "compliqué" et non "impossible" :lol3:

par **Science** » 27 Jan 2010, 19:46

Désolé mais j'arrive pas à te définir ce qu'est un déterminant, je sais que c'est une application qui vérifie plusieurs propriétés (le déterminant de la base c'est 1 par exemple) et que c'est un outil très important pour savori si une matrice est inversible ou non ...

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