Diagonalisation de matrices symétriques

[guillaume100]

Bonjour à tous,

Ayant la matrice symétrique suivante:


Il s'agit de la diagonaliser dans une base orthonormée, sauf que j'arrive même pas à trouver ses valeurs propres sans regarder le corrigé(3,6,9), le déterminant se simplifie pas.

Y'a un autre moyen pour les matrices diagonalisables de trouver les valeurs propres ??

Et comment trouver la base orthonormale une fois qu'on a les espaces propres ?

[aviateur]

Bonjour
qu'est ce que tu entends par le déterminant ne se simplifie pas?
Pour calculer les valeurs propres du calcul le polynôme caractéristique pour trouver

Il suffit de résoudre cette équation (p(x)=0) pour trouver les valeurs propres.

[Carpate]

En développant le déterminant selon sa première ligne




: racines : soit et

[guillaume100]

Ah ouais merci beaucoup pour vos réponses !

Carpate: j'avais pas pensé à développer selon la première ligne je retiendrai

Aviateur: comment tu comptais résoudre cette équation du troisième degré sans connaître les racines ??

[pascal16]

par la recherche des racines entières évidentes (ie -/+ les diviseurs de 162) ?

[guillaume100]

Ah ouais bien vu !!

[aviateur]

Bonjour

Ah ouais merci beaucoup pour vos réponses !

Carpate: j'avais pas pensé à développer selon la première ligne je retiendrai

Aviateur: comment tu comptais résoudre cette équation du troisième degré sans connaître les racines ??

A priori résoudre une équation c'est quand on ne connait pas les racines
Si je dois résoudre x^2+x -3=0 c'est que je connais pas les racines, sinon je ne résous rien

Concernant les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle, dans le cas général on est amené à trouver les 3 racines réelles d'un polynômes de degré 3. On sait résoudre les équations polynomiales de degré jusque 4. Donc a priori pas de pb. Mais en général les formules sont compliquées. Mais il arrive souvent pour éviter des calculs compliqués (pour les étudiants) de s'arranger pour qu'il y ait des solutions rationnelles voire des racines entières (dites évidentes). Alors que l'on se fatigue (i.e on fait comme @carpate on cherche une factorisation) ou pas mais dans tous las cas on y arrive.

Maintenant "dans la nature" (i.e) dans la vraie vie, il y a peu de chance que les valeurs propres tombent justes ( penser à Urbain Le Verrier et les calculs des valeurs propres qu'il a dû faire pour découvrir l'existence de la planète Neptune).

Comme par exemple trouver les valeurs propres:


Le polynôme car. est :
Chercher à factoriser (pendant le calcul du déterminant) ou après le calcul est inutile (car on y arrivera pas).
En effet on peut montrer qu'il n'y a pas de solutions rationnelles. Mais les valeurs propres se calculent exactement

[pascal16]

mais on se retrouve très vite limité pour trouver les racines du polynôme quand la taille de la matrice augmente, on est donc encore dans un cas particulier.

[aviateur]

Bonjour
Pour être concret, je dirai que le calcul exact des valeurs propres est en général difficile voir impossible.
Jusque n=4 on sait qu'on peut le faire. C'est ce que j'ai voulu montrer sur l'exemple mais on a des formules compliquées et j'ai voulu montrer que rechercher systématiquement une factorisation dans le calcul du déterminant c'est un risque de perte de temps (durant une épreuve en temps limité). Ce que j'ai compris dans le message initial: le posteur n'arrive pas à factoriser, on peut le faire ici, on l'a vu mais on peut s'en passer car si il y aune factorisation évidente, il y a des racines évidentes) .
Perso la meilleure façon de faire comprendre cela, je fabrique une matrice de taille 3 avec des valeurs propres rationnelle mais pas trop évidente.
Dès que n=5 on ne saura calculer les vp de façonsexactes que dans des cas particuliers comme par exemple le calcul des valeurs propres de la matrice
Maintenant il ne faut pas oublier qu'il y a des méthodes numériques qui permettent de calculer les valeurs propres de façon approchées.

[guillaume100]

Bonjour !

Merci pour les infos je vais m'entraîner à résoudre les équations de degré 3

[Lostounet]

Comme par exemple trouver les valeurs propres:


Le polynôme car. est :
Chercher à factoriser (pendant le calcul du déterminant) ou après le calcul est inutile (car on y arrivera pas).
En effet on peut montrer qu'il n'y a pas de solutions rationnelles. Mais les valeurs propres se calculent exactement

Salut Aviateur,
Ça ça m'interesse.

Aurais tu un bout de litterature à me conseiller là dessus ?(expression de solutions trigonométriques d'équations polynômiales).

Ça se fait pour tous les degrés?

[aviateur]

"Aurais tu un bout de litterature à me conseiller là dessus ?(expression de solutions trigonométriques d'équations polynômiales)."
Non ici j'ai simplement calculé les racines du polynômes de degré 3 avec la méthode de Cardan.

[LB2]

Pour certains équations de degré 3, il n'y a pas un changement de variable de type x=cos(theta) qui fait calculer les solutions avec des arctan justement?