Segment de matrices symétriques

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 18:09

Salut salut :happy3:

Toujours dans les matrices symétriques, voici un exercice intéressant auquel j'ai été confronté. J'ai ajouté une question mais je n'ai pas encore la réponse, je cherche en même temps que vous.

On se fixe deux matrices carrées symétriques réelles d'ordre n et telles que .

On note .

Montrer que est un compact de .

Question subsidiaire : Ce résultat marche-t-il si l'on remplace par un corps commutatif quelconque? Si non, trouver une CNS sur le corps pour que ce soit vrai.

amusez-vous bien.

par **ThSQ** » 19 Mar 2009, 18:16

Intéressant.

A <= B c'est bien B-A est positive ? Comment tu définis ça ailleurs que dans IR (ou dans C) ? Et tu mets quelle topologie ?

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 18:23

Bah, on a bien des formes hermitiennes positives non? :happy3:

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 18:26

Oups désolé je n'avais pas vu ta modification !

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 18:28

On pourrait définir la positivité sur des surcorps de R en disant que la forme est positive lorsqu'elle est à valeur dans R+.

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 18:30

Pour la topologie, on peut prendre celle induite par la norme subordonnée multiplicative.

par **ThSQ** » 19 Mar 2009, 18:32

OK. J'ai cru que tu voulais parler de corps style Z/2Z ou autre corps non ordonné.

par **ThSQ** » 19 Mar 2009, 18:46

La fermeture est claire et la bornitude se déduit des inegs sur les vp non ?

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 18:54

Inégalité sur les vp? Je suis intéressé? Personnellement je suis plutôt parti sur l'existence d'une racine carré d'une matrice symétrique.

par **barbu23** » 19 Mar 2009, 19:16

Bonjour : :happy3:

ne peut -t-il pas s'ecrire comme ça :

? :hein:
Amicalement ! :happy3:

par **yos** » 19 Mar 2009, 19:25

barbu23 a écrit: ne peut -t-il pas s'ecrire comme ça :
?

L'inclusion

semble claire mais l'autre?

par **barbu23** » 19 Mar 2009, 19:31

Si on pose :

:
Et si on considère la famille des projections continues

telle que :

Je pense que c'est facile d'y arriver ! non ? :hein:
Parceque, dans

:

Amicalement ! :happy3:

par **yos** » 19 Mar 2009, 20:03

Prends A=diag(1,2), B=diag(3,5) et M=diag(2,3) dans

.

par **ThSQ** » 19 Mar 2009, 20:47

Nightmare a écrit:Inégalité sur les vp? Je suis intéressé? Personnellement je suis plutôt parti sur l'existence d'une racine carré d'une matrice symétrique.

Les vp sont entre celles de A et B + norme 2.
Ta soluce avec la C° de la racine carrée est très 'stucieuse ceci dit !

@barbu : c'est pas un segment au sens de la convexité mais c'est les matrices telles que A <= M <= B avec M <= N ssi N-M est positive.

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 20:57

Peux-tu expliciter ta solution ThSQ? Je ne vois pas comment on pourrait conclure avec les vp...

par **ThSQ** » 19 Mar 2009, 22:03

Xcuze c'est un peu décousu notre échange.

Dans le cas des matrices symétriques la rayon spectral coïncide avec la norme 2 et comme on peut prendre n'importe quelle norme !

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 22:07

Effectivement :happy3:

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