Diagonalisation de matrice

[manu78***]

Bonjour,
J'ai un exercice portant sur les diagonalisations de matrice et j'ai du mal à faire une question :la 3.

Enoncé :
2- il faut diagonaliser la matrice A. Pas de pb j'y arrive. Je trouve la matrice diagonale D et la matrice inversible P mais on me dit de ne pas calculer P^-1
je trouve donc une egalité de la force : A=P . D . P^-1
3- JUSTIFIEE QU IL EST POSSIBLE DE CHOISIR UNE MATRICE P TELLE QUE : P^-1 = P^t oû P^t est la transposée de la matrice P. Dans ce cas determiner une nouvelle matrice P, puis donner P^-1

Merci d avance :)

[L.A.]

Bonjour.

Il manque certaines précisions pour qu'on qu'on puisse t'aider à fond, en particulier le corps de base (je suppose que c'est R) et la matrice A elle-même.

Il n'est pas toujours possible de diagonaliser une matrice A par une matrice de passage P qui soit orthogonale (cad telle P^t P = Id), par exemple



C'est le cas lorsqu'il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres, et il suffit que les sous-espaces propres soient orthogonaux deux à deux. Si la matrice est (réelle) symétrique, c'est aussi un théorème important qui figure sans doute dans ton cours.