Je travaille actuellement sur un projet d'Analyse Numérique en Ecole d'ingénieurs. Le sujet de cette étude porte sur la diagonalisation des matrices carrées d'ordre n.
Nous avons choisi une méthode directe de résolution ( calcul des coefficients du polynome caractéristique de la matrice et recherche de ses racines ).
Pour la première partie, les coefficients du polynome caractéristique, nous avons opté pour l'algorithme de Leverrier. Mais là où je me pose des questions, c'est quand dans le descriptif de l'algorithme que nous avons trouvé, il est bien spécifié que les coefficients donnés par cet algorithme sont donnés à un facteur (-1)^n près.
Détails de l'algorithme :
Matrice de départ : A
Matrice identité d'ordre égale à celui de A : I
Trace de la matrice : Tr()
C0 = I
H1 = A*C0 -> b1 = Tr(H1) -> C1 = H1 - b1.I
H2 = A*C1 -> b2 = 1/2 * Tr(H2) -> C2 = H2 - b2.I
...
Hn = A * Cn-1 -> bn = (1/n) * Tr(Hn) -> Cn=Hn - bn.I
Avec b(1..n) les coefficients du polynome caractéristique de la forme :
P(v) = v^n - b1.v^(n-1) - b2.v^(n-2) - ... - bn
( Note pour plus tard : apprendre à utiliser le langage TeX :id: )
Or, si nos coefficients du polynome caractéristique ne sont pas tout à fait exacts, la méthode de recherche des racines du polynome ne sera pas juste. Tout du moins, nous n'obtiendrons pas les bonnes racines du polynome et donc pas les bonnes valeurs propres de la matrice !
J'ai cherché dans le peu de ressources à ma disposition ( Internet, principalement ) et je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider à comprendre ce point particulier.
Merci d'avance à ceux qui se pencheront sur mon délicat problème.