Diagonalisation dans M3(C)

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit A une matrice de M3(R). On suppose que -1 est valeur propre simple de A est que 1 est valeur propre double de A.

A est trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé dans R donc qu'il existe Q inversible de M3(R) tel que avec (a,b,c) des réels :



Je dois montrer que C et A sont diagonalisable dans M3(C).

Je dois calculer la dimension de chaque sous espace propre et vérifier qu'elle est égale à la multiplicité de la valeur propre associée ?


Merci

[mehdi-128]

Le problème est que je n'est pas la matrice A mais que C ...

Donc comment calculer la dimension de l'ensemble pour les valeurs propres 1 et -1 ?

[Kolis]

Bonjour !
Les matrices étant semblables la possibilité de diagonaliser est la même. tu peux donc travailler sur la matrice trigonale directement.

[mehdi-128]

Bonjour !
Les matrices étant semblables la possibilité de diagonaliser est la même. tu peux donc travailler sur la matrice trigonale directement.

Donc le polynôme caractéristique de C est égal à celui de A ?

[pascal16]

Faut-il forcément passer par un polynôme caractéristique ?

Version 1.
le système d'équation lié à cette matrice est évidement inversible.
donc la matrice C l'est aussi
donc la matrice A l'est aussi


inversion par pivot de gauss
si on multiplie par -1 la première ligne puis on lui ajoute aL2+ bL3, on a une matrice diagonale dont on connait son inverse.
donc C et A inversibles
on connait même C^-1

[Kolis]

Bonjour !
@pascal : on ne demande pas de trouver l'inverse de

@mehdi : les valeurs propres de étant évidentes ainsi que leur multiplicité, il suffit de chercher la dimension des espaces propres.

[pascal16]

en particulier, je démontre que :

Je dois montrer que C et A sont diagonalisable dans M3(C).

[mehdi-128]

Merci pour vos réponses j'ai réussi à trouver en résolvant les systèmes d'équation : CX=X et CX=-X la dimension des sous espaces propres est égale à la multiplicité de la valeur propre associé.