Développement limités et composition

[Jonny]

Salut,
je travaille sur les développements limités, et j'ai des gros points d'ombre.

Tout d'abord, au cas où vous auriez ça sous la main, connaissez vous un site ou juste une page garni(e) de cours écris en français. Je m'explique : j'ai recherché pour mieux comprendre énormément de cours : tout est toujours écrit en symboles mathématiques, et je sature très vite. Je sais qu'ils sont indispensables, mais si vous connaissez, j'aimerais un cours plus aéré et plus explicatif par le texte.

Ensuite, plus précisément :
- Que dois-je penser du développement limité en 0 d'une fonction f non-continue en 0 ? Je sais qu'on peut prolonger f en 0 avec la partie principale de son DL, puisque f(0) est équivalent à sa partie principale (DL(0)) Mais comment avoir ce DL ? :hum:

- Dans la composition, l'idéal si j'ai bien compris est de composer par une fonction dont la limite en 0 vaut 0. Et si ça n'est pas le cas ? Je me retrouve avec un DL(1), par exemple, si la limite en 1 valait 0. Ensuite, je peux faire un changement de variable pour me ramener en 0. Oui, mais ça ne marche jamais, je change aussi la fonction dont j'ai le DL. (celle que je voulais, je sais pas si je suis très clair..)
En résumé, comment composer par une fonction dont la limite en a vaut 0, quand a est différent de 0 ?

Merci infiniment si vous pouvez m'aider, j'ai l'impression d'accumuler des lacunes :mur: :briques: :hum:

_________________
Dans un second temps, c'est moins important que le cours, mais j'aimerais aussi un peu d'aide si vous n'êtes pas essoufflés ^^

Réaliser le DL(0) à l'ordre 5 de Arctan(Arcsin(x))

Ce que j'ai fais : J'ai fait le DL5(0) de Arctan(X), par intégration de celui de 1/(1+x^2) (obtenu par composition de 1/(1-x))



Ensuite je voudrais faire pareil avec le DL5(0) de

Mais je ne sais pas comment calculer ce DL..

Merci d'avance

[maturin]

alors pour le début je comprends pas bien ta question.
Regarde sur wikipedia pour un cours mais y a de la formule maths à gogo :)

pour l'exemple
tu as:
arcsin(x)=x-x^3/6+3x^5/40+o(x^5)

cf wikipedia pour le DL de arcsin(x)

tu remplaces ce DL de arcsin dans celui de arctan, tu vires tout ce qui est plus petit que o(x^5)

[mathelot]

Bonjour,

la pratique des DL est relativement aisée, la théorie est difficile:

théorie
- les DL s'ajoutent,se multiplient,se composent
- un DL admet un inverse pour la multiplication si f(0)=1
- on peut calculer le DL de la bijection réciproque en posant
et en identifiant les coefficients
- les DL sont liés aux développements en série (Taylor,Mac-Laurin)
- les DL sont liés à la théorie des séries formelles (anneau R[[X]])
- le DL,s'il existe,est unique

la théorie est (relativement) difficile car:
-une fonction qui admet un DL en x=0 est continue et
dérivable en x=0 mais n'est pas nécessairement dérivable dans un voisinage
de 0
Dans un voisinage de 0, la fonction f , qui admet un DL en x=0
n'est pas nécessairement continue,dérivable,mesurable,Riemann-intégrable..
il suffit de prendre pour o(x^n) une fonction pathologique.

mais,
si une fonction est continue dans un voisinage de x=0, on peut intégrer le DL
qui donne le DL de la primitive
si la dérivée et le DL de la dérivée existent dans un voisinage de x=0,alors on peut dériver le DL et le DL dérivé donne le DL de la fonction dérivée

grosso modo, il faut supposer l'existence des objets et alors les choses se passent plutôt bien


en pratique
- on considère des fonctions indéfiniment dérivables et développables
en séries entières (sin,cos,racine,log,inverse,polynôme,exponentielle
arctan,arccos,arcsin,argsh,etc..)
-on intégre,on dérive , on compose
- si l'on développe à l'ordre 5, il ne faut oublier aucun terme d'ordre 5
sinon le résultat n'est pas significatif.
- le DL en x=0 d'une fonction paire ne contient que des monomes de degré pair
- le DL en x=0 d'une fonction impaire ne contient que des monomes de degré impair
-pour la composition de f suivie de g , on développe f en x=0 avec f(0)=b
f(x)=b+o(1)
on développe h(y)=g(b+y) au voisinage de y=0 et on remplace y par le o(1)

o(1)=notation pour toute fonction de la variable x qui a pour limite zéro
en x=0

cordialement,

[mathelot]

Ensuite je voudrais faire pareil avec le DL5(0) de

pour ce DL, poser ,
et utiliser le DL de

qui est une généralisation de la formule du binôme aux exposants fractionnaires. si l'exposant est un entier naturel, on retrouve le développement du binôme.

si tu veux développer tangente au voisinage de
deux méthodes possibles:

- utiliser la formule de Taylor
- se ramener à l'origine en h=0


travailler avec du h. :bad2:
à la fin, revenir à x en écrivant

dernier point, pour conclure:

- toutes les infos supplémentaires sur la fonction f se répercutent
agréablement sur le DL. Par exemple , si l'on sait que

il suffit de calculer les coefficients du DL en x=0 par:

pour

la récurrence est tranquille et évite tout calcul.

une page garni(e) de cours écris en français

pour la traduction en l'étrusque linéaire B, prévoir un délai. :zen:

[Jonny]

arcsin(x)=x-x^3/6+3x^5/40+o(x^5)

cf wikipedia pour le DL de arcsin(x)

Merci, mais en fait j'aimerais savoir calculer ce DL (il est aussi dans mon cours, tout comme arctan. Mais je prévois d'utiliser ces DL sans les redémontrer seulement quand je saurai le faire ^^)

qui est une généralisation de la formule du binôme aux exposants fractionnaires. si l'exposant est un entier naturel, on retrouve le développement du binôme.

Ah, j'avais vu ça dans le cours oui, mais j'avais pas compris que ça venait de cette formule, je viens d'aller voir ça va mieux.

Merci beaucoup Mathelot ! J'ai tout de même encore quelque questions, si je n'abuse pas trop... :briques:

un DL admet un inverse pour la multiplication si f(0)=1

Sur wikipédia, on parle d'inverse seulement de la forme . Or ici tu me parles bien d'inverse au véritable sens, non ? A savoir . Comment j'obtiens ce DL alors ?

Ensuite,

pour la composition de f suivie de g , on développe f en x=0 avec f(0)=b f(x)=b+o(1) on développe h(y)=g(b+y) au voisinage de y=0 et on remplace y par le o(1)

f suivie de g, c'est bien g rond f ?
En fait, je développe g(b+y) au voisinage de y=-b (ça revient à faire ça en changeant la variable ?), mais je comprends pas bien remplacer par le o(1).
Par le DL1 de f ? Mais je ne risque pas de perdre des termes ? (Ceux par exemple pour un DL5 qui auraient pu provenir de l'ordre 5 de f avec l'ordre 1 de g)

Merci encore

[mathelot]

re johnny,

je te traite un exemple vite fait pour que tu vois les techniques

DL de tan à l'ordre 5 en


changement de variable pour se ramener en h=0

un peu de trigo

le seul inverse que l'on connaisee, c'est
on factorise au dénominateur par

(1)

tan(h) est un infiniment petit. on développe le dénominateur
en monômes de tan(h):

(2)

on calcule les coeff de tan(h) grâce à l'équa diff

fonction impaire

on dérive (la dérivée d'une fonction impaire est paire)

on identifie
modulo o(h^4)




on remplace tan(h) par ce polynôme dans le numérateur de (1) et dans (2)

[Jonny]

Merci encore, t'as condensé pas mal de techniques en un exemple ^^

Mais je ne comprends toujours pas tout... Pour ce qui est du changement de variable, plus de problème j'ai saisi.

Par contre avec la formule de trigo je trouve tan(pi/3 +h) = l'inverse de ce que tu trouves ?

Je sèche totalement sur ça :

tan(h) est un infiniment petit. on développe le dénominateur en monômes de tan(h):

A quoi ça sert de dire tan(h) est un infiniment petit, et ça veut dire quoi exactement ?
Je n'ai pas compris le développement non plus.

Désolé, si tu en as marre de répondre, je t'en voudrai pas, tu m'as déjà bien aidé ^^

[mathelot]

Par contre avec la formule de trigo je trouve tan(pi/3 +h) = l'inverse de ce que tu trouves ?

oui, tu as raison. au départ, je voulais développer

A quoi ça sert de dire tan(h) est un infiniment petit, et ça veut dire quoi exactement ?

ça veut dire que l'on pose v=tan(h) et on fait le développement limité
avec v:

Je n'ai pas compris le développement non plus.

une fois posé v=tan(h), avec lim tan(h)=0 quand h tend vers zéro,
on écrit



on remplace v par tan(h)
puis tan(h) par son développement. :mur:

[Jonny]

Ok !
Merci, je devrais pouvoir m'en sortir avec tout ça !

Et désolé d'avoir été un peu lent à la détente :hein: :marteau: :mur:

[mathelot]

Ok !
Merci, je devrais pouvoir m'en sortir avec tout ça !

you' re welcome.