Développement limité et calcul de limite

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boro
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développement limité et calcul de limite

par boro » 26 Oct 2009, 12:36

bonjour tout le monde ,
Je dois calcule la limite quand x tend vers zéro de la fonction suivant :
c(x)= ((exp(x) - x)/x^2 ) - ((sin(x)^2)/x^4)

Mes amis me disent que la limite de cette fonction quand x tend vers zéro est 5/6 mais moi j'ai beau recalculer je trouve toujours des valeurs différentes , une fois j'ai trouvé 1/2 , une autre fois 1/3 enfin bon je sais pas comment il faut faire.
Mon raisonement a était le suivant :
j'ai tout fait a l'ordre 4:
j'ai décomposé le problème, je me suis d'abord occupé du terme ((exp(x) - x)/x^2)
le développement limité de exp(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+o(x^4)
Soit exp(x) - x = 1+x^2+x^3+x^4+o(x^4)
Soit au final ((exp(x) - x)/x^2) = (1/x^2)+x+x^2+o(x^4) si je me trompe pas.

Ensuite je me suis occupé du 2nd terme de l'équation.
le DL de sin(x)=x-(x^3/6)+o(x^4)
donc sin(x)^2=(x-(x^3/6))^2 ce qui est une identité remarquable qui vaut
sin(x)^2= x^2 - (x^4/3) + (x^6/36) +o(x^4)
si on divise tout ça par x^4 comme il l'est défini dans la fonction on a :
sin(x)^2 / x^4 = 1/x^2 - 1/3 + x^2/6 + o(x^4)

Par la suite si on fait tendre x vers zéro on trouve 1/3 mais malheureusement c'est pas ça apparemment.
Si quelqu'un peut m'aider je le remercie d'avance. Normalement il doit trouvé 5/6.
Merci d'avance



Doraki
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Messages: 4987
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 26 Oct 2009, 12:56

Déjà, le DL de exp(x) c'est 1 + x + x²/2 + x^3/6 + x^4/24 + ...

Pythales
Habitué(e)
Messages: 1162
Enregistré le: 05 Déc 2005, 16:54

par Pythales » 26 Oct 2009, 18:48

Je trouve effectivement

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Ericovitchi
Habitué(e)
Messages: 7853
Enregistré le: 18 Avr 2009, 15:24

par Ericovitchi » 26 Oct 2009, 19:46

oui.
si tu veux le développement limité plus détaillé en zéro, ça donne :
c(x)=

boro
Messages: 2
Enregistré le: 26 Oct 2009, 12:14

par boro » 26 Oct 2009, 20:28

Merci beaucoup de vos aides , c'était en effet des erreur de calcul dans mon raisonement.
Bonne soirée a vous

 

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