Développement limité avec un grand O!

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mimix
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Développement limité avec un grand O!

par mimix » 02 Nov 2010, 18:39

Bonjour,
Quelqu'un pourrait m'expliquer la différence entre un petit o et un grand O?
J'ai l'expression suivante:
Il est écrit ensuite: " effectuons un développement limité d'ordre 2 au sens fort"
bon moi le développement limité d'ordre 2, jlaurais écris comme ça:

Mais ici j'ai:


où sont passés les termes en 1/n^4?

Si quelqu'un pouvait me l'expliquer clairement, merci beaucoup :)



arnaud32
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par arnaud32 » 02 Nov 2010, 18:55

en gros un O(1) est une fonction bornee un o(1) est une fonction qui tend vers 0
f=O(g) en x0 ssi il existe M>0 et un voisinage de x0 sur lequel |f|f=o(g) en x0 ssi il existe pour tout m>0 et un voisinage de x0 sur lequel |f|

mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 18:59

Ok, ça c'est compris. Mais je n'arrive toujours pas à comprendre l'expression obtenue dans la correction de mon ptit bout d'exo.

Une autre question: quand est-ce qu'il faut utiliser un développement limité au sens fort? j'y aurais jamais pensé

mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 19:11

J'ai une autre question:

pourquoi ici ils qualifient le développement limité d'ordre 2? pourquoi il est pas d'ordre 1?

arnaud32
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par arnaud32 » 02 Nov 2010, 19:16













mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 19:23

c'est pas plutôt un -1/8.u²?

arnaud32
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par arnaud32 » 02 Nov 2010, 19:24

un developpment limite d'ordre 1 est du type f(x)=a+bx+o(x)
un developpment limite d'ordre 2 est du type f(x)=a+bx+c²+o(x²)

mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 19:28

Je regarde ça tout de suite! merci d'y avoir répondu aussi clairement, surtout avec le latex...

mais comment savoir si il faut utiliser le grand O ou le petit o?

arnaud32
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par arnaud32 » 02 Nov 2010, 19:30

ce que tu peux voir avec ce que je t'ai ecrit, si je n'ai pas fait d'erreur de clacul, c'est que
les DL d'ordre 2 et 3 sont identiques.
et que le DL en O et en o n'est pas le meme

arnaud32
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par arnaud32 » 02 Nov 2010, 19:37

ca ca depend de la precision que tu veux obtenir.
mais il faut faire attention a ce que tes developpments soient homogenes pour ne pas oublier des termes

mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 19:39

Donc l'intérêt du grand O, c'est que ça simplifie les calculs?

ça doit pas être clair dans ma tête, mais... quand on a par exemple:

1/n^2 + 1/n^4 + o(1/n^4), on peut dire que c'est égal à : 1/n^2 + o(1/n^2), donc ça veut dire qu'il contient le terme en 1/n^4

dans:



on a un grand O, parce qu'il contient le terme en 1/n²

pourquoi? le petit o il renferme ts les termes "trop grand" et le grand O?

mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 19:41

dans ce cas, quand on insère un grand O, c'est juste pour dire que c'est dominé par 1/n²?

Sylviel
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par Sylviel » 02 Nov 2010, 19:49

l'intérêt du grand O c'est surtout que c'est plus précis :
si f est C^2 tu as
f(x)=f(0)+xf'(x)+x²f''(x)+O(x³)
ce qui est plus précis que
f(x)=f(0)+xf'(x)+x²f''(x)+o(x²)
exemple x^{2.5} est o(x²) mais pas O(x³). Et dans de nombreuses applications cela évite de pousser le DL un ordre plus loin... En conclusion : DL avec O systématique (si possible).

Sinon le grand O renferme aussi tous les termes trop grand, tout comme le petit O...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 19:56

ok merci beaucoup, c'est déjà plus clair qu'avant.

mimix
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par mimix » 02 Nov 2010, 20:03

arnaud32, le fait d'avoir a/n^6 signifie-t-il qu'on ne multiplie que la variable par 1/8 et non le réel a?

arnaud32
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par arnaud32 » 02 Nov 2010, 21:34

la variable utilisee la est u=a/n^3 tout simplement.

 

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