Developement limité en 0 de x^3 sin (1/x^2)

[squall09s]

bonjour,
J'ai un petit problème quant à la résolution d'un exercice de préparation aux partiels de licence 1, et j'aimerais avoir de l'aide de votre part si ça ne vous dérange pas.

énoncé :

Soit la fonction f : x --> f(x) = { x^3 sin (1/x^2) si x =/= 0
{ 0 si x = 0

(1) Prouver que lim (de x qui tend vers 0) de x sin (1/x^2) = 0

Donc j'ai tout d'abord dit que
-1 < sin (1/x^2) < 1
- x < x sin (1/x^2) < x
lim (-x) < lim x sin (1/x^2) < lim (x)


--> lim (quand x tend vers 0) de -x = 0

--> lim (quand x tend vers 0) de x = 0

donc 0 < lim x sin (1/x^2) < 0
donc lim x sin (1/x^2) ( quand x tend vers 0) = 0


(2) Montrer que f admet un développement limité d'ordre 2 au point 0.

f : x^3 * sin (1/x^2)
J'ai d'abord pensé a remplacé 1/x^2 par X mais cela ne marche pas
puis j'ai pensé à faire

1*( x^3 * sin (1/x^2))



** en mettant 1 en partie régulière et x^3 (sin (1/x^2)) = E(x)
on obtient
-1 < sin (1/x^2) < 1
| sin (1/x^2) | < |1|
0 < | x^3 * (sin (1/x^2)) < |x^3|

lim (x -->0) x^3 * (sin (1/x^2))=0 et lim E(x)=0
Donc f admet un DL en 0 à l'ordre 0.



** en mettant x en partie régulière et x^2 (sin (1/x^2)) = E(x)
on obtient
lim (x -->0) x^2 * (sin (1/x^2))=0 et lim E(x)=0
Donc f admet un DL en 0 à l'ordre 1.




** en mettant x^2 en partie régulière et x (sin (1/x^2)) = E(x)
on obtient
lim (x -->0) x * (sin (1/x^2))=0 et lim E(x)=0
Donc f admet un DL en 0 à l'ordre 2.


Mais je ne pense pas que ce soit bon..

Voila en espérant avoir une réponse de votre part,
Cordialement

[Nightmare]

Salut,

je n'ai pas très bien compris ce que tu fais (un peu la flemme de déchiffrer en fait), mais tout simplement, tu as prouvé que x.sin(1/x²) tendait vers 0, donc x^3 sin(1/x) / x² tend vers 0, ce qui s'écrit aussi x^3 sin(1/x)=o(x²) ! On a bien un Dl à l'ordre 2 dont tous les coefs sont nuls !

[squall09s]

ah et bien c'est que je ne pensé pas que un DL avec coefs nuls était possible. :mur: ^^