Déterminer un polynôme quotient

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sticksman2
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Déterminer un polynôme quotient

par sticksman2 » 06 Mar 2014, 16:45

Bonjour à tous,
je sèche à la dernière question d'un exercice sur les polynômes.

En voici l'énoncé :

On pose B=(X-1)^2.
1.
Effectuer la division euclidienne par B des polynômes suivants :
a) A2= 2X^3 - 3X^2 +1

b) A3 = 3X^4 - 4X^3 +1.

2. On pose An= aX^(n+1) + bX^n +1
a. Déterminer en fonction de n les réels a et b pour que B divise A.

b) Avec les valeurs de a et b trouvées ci-dessus, déterminer le polynôme quotient dans la division de An par B.


J'a trouvé et vérifié pour la 1 :

a) A2 = B(2X+1)

b) A3 = B(3X^2 + 2X +1)

et pour la 2. a) :
a= n
b= -(n+1)

Le problème c'est que je n'arrive pas à trouver mon hypothèse de récurrence pour la b)
Quand je regarde les résultats du quotient pour 1.a) et 1.b) je vois bien qu'il y a un lien entre les deux quotient, puisqu'on y a ajouté nX^n-1, mais je n'arrive pas à aller plus loin... Avez-vous des conseils à me donner?
Merci !
Léo



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Ben314
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par Ben314 » 06 Mar 2014, 17:25

Salut,
Le (petit) soucis, c'est que l'énoncé n'est pas clair concerant la forme sous laquelle il veut qu'on donnd le quotient .
En fait, la forme la plus simple (si on doit dériver ou intégrer ou...), c'est évidement d'écrire mais ça rend la question trés con...

Donc on va partir sur ce que tu semble vouloir obtenir, c'est à dire une formule de réccurence concernant (on pourait aussi écrire et chercher à calculer les ...)

Perso, j'écrirais que :


(qui proviennent de et de )

Tu "résoud" ton système de 2 équations à 2 inconnues en regardant et comme des inconnues que tu exprime en fonction de et puis tu écrit que pour en déduire une formule liant et .

Une fois la formule finale obtenue, tu devrait sans doute constater qu'il y avait plus simple (et plus astucieux...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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chan79
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par chan79 » 06 Mar 2014, 17:53

salut
On suppose que (éventuellement après avoir divisé A4 par B):


On part de





Remplace le contenu du crochet en utilisant l'hypothèse de récurrence

sticksman2
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par sticksman2 » 06 Mar 2014, 22:26

D'accord, merci à vous deux, j'ai trouvé la solution grâce à vous !
Ben314: Je n'ai malheureusement pas trouvé une manière plus simple de trouver l' HR ( sans compter celle de Chan, que je ne vois pas comment simplifier plus !)

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Ben314
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par Ben314 » 07 Mar 2014, 11:25

sticksman2 a écrit:D'accord, merci à vous deux, j'ai trouvé la solution grâce à vous !
Ben314: Je n'ai malheureusement pas trouvé une manière plus simple de trouver l' HR ( sans compter celle de Chan, que je ne vois pas comment simplifier plus !)

La méthode que je proposait fonctionne, mais ça donne une formule de récurrence entre et assez compliquée et en particulier avec une division polynômiale si on exprime en fonction de :


Vu la tête effective des Qn (donnée par chan79 dans sa première ligne et qui se conjecture façilement en calculant les 3 ou 4 premières valeurs de Qn), la formule que j'obtient n'est pas des plus pertinentes (c'est le moins qu'on puisse dire...)

Aprés, pour montrer que Qn est effectivement égal au truc en question, il y a des tas de solutions (la plus simple étant sans doute la réccurence)
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deltab
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par deltab » 08 Mar 2014, 06:22

Bonjour.

Pourquoi ne pas vérifier directement (en développant le second membreet en faisant des changement d'indices) qu'on a bien:








d''où




d'où

 

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