Déterminations continues sur un connexe

[Lostounet]

Bonjour à tous,

Je viens de commencer l'analyse complexe. Les notions sont encore fraiches, je me demande s'il est possible de m'expliquer sur cet exercice la meilleure manière de procéder !
La référence: le poly de Michèle Audin disponible sur le net

Voici l'exercice:


Ce que j'ai fait: prenons l'ouvert U1 et la fonction z ->
Cela revient à se demander s'il existe une application continue L de U1 dans C, telle que pour tout z dans U1, on ait:

g(L(z)) = z
Avec g la fonction (z^2 + 1)^(1/2)...enfin c'est inutile, mais plus simplement, est-ce qu'on a continuité de L sur l'ouvert U1.
Je pense que non car on peut tourner beaucoup de fois autour du point (1) ou du point (-1) mais .. est-ce que cela a un sens...

Merci

[Doraki]

Oui les potentiels problèmes viennent du fait que tu peux tourner autour de -1 et 1, donc il faut voir quels sont les trajets que tu peux faire, et qu'est-ce qu'ils font faire aux valeurs des "fonctions".

Un log qui tourne autour de 0, ça va rajouter un 2ipi.
Une racine carrée ça va être multiplié par -1, et une racine cubique ça va être multiplié par e^(2ipi/3).

Si à chaque fois que tu fais un tour tu retombes sur la même valeur que celle dont tu es partie, ça va être bon.

Pour formaliser ça ça dépend de où tu en es dans ton cours.

Sinon tu peux procéder complètement à l'aveugle en prenant les déterminations principales de log /sqrt/racine cubique sur C privé de R- et en les "tirant en arrière" : ça te donne des déterminations continues des 3 premières fonctions sur V1 = {z de C tels que (z²-1) n'est pas dans R-} qui est un certain ouvert que tu dois dessiner.
Ensuite tu regardes si ces déterminations peuvent se prolonger par continuité sur U1 et U2 juste en regardant quelques limites.

[Lostounet]

Merci bien Doraki de toujours m'aider
A vrai dire, je suis encore au tout début avec la détermination 'principale' du logarithme.

z^2 - 1 est dans R- lorsque je pose z^2 - 1 = (a + ib)^2 - 1 = a^2 + b^2 + 2abi - 1
Il faut avoir ab = 0 Et a^2 + b^2 < 1

Après, est-ce que ça peut passer sur U1 tout entier ... Il faut regarder ce qui se passe lorsque z se balade dans U1 c'est bien ça?

[Doraki]

revois ta multiplication..

[Lostounet]

Euh oui excuses...
(a + ib)^2 - 1 = a^2 + 2abi - b^2 - 1 = t réel négatif

Cela impose donc ab = 0 et a^2 - b^2 < 1
donc ab = 0 et (a + b)(a - b) < 1

[Doraki]

et donc tu l'as dessiné ? ça ressemble à quoi ? Est-ce que V1 est connexe ?

[Lostounet]

Re,
A vue de nez

A^2-b^2<1
Pour a=0, on a b^2>-1 c'est vrai pour tout b...

On a l'axe des ordonnées j'ai l'impression.

Pour b=0, par contre a^2-1<0 donc a dans] -1;1[

Du coup, si je retire ces trucs de U1 ça devrait marcher? Ne dois-je pas vérifier la connexité de U1 privé de V1?

[Doraki]

Du coup, si je retire ces trucs de U1 ça devrait marcher?

Absolument pas, tout ça te dit que tu as gratuitement une détermination continue de tes fonctions sur V1, juste en remplaçant "log" par les formules qui donnent la détermination principale de log.

Donc maintenant à quoi ressemble l'intersection de U1 et de V1 ? Est-ce que c'est connexe ? où sont les endroits qui ont été découpés ? Est-ce qu'il est possible de choisir sur chaque morceau une détermination du log (donc un multiple de 2ipi) qui permettent de combler les trous ?

[Lostounet]

Je ne veux pas dire de bêtises, mais ça ne semble plus connexe. Je vois deux composantes connexes.
Après, combler les trous...ça me semble compliqué je vais réfléchir.

[Lostounet]

Salut,

Quelqu'un (Doraki?) pourrait-il m'aider à trouver une détermination continue sur les deux connexes que j'ai trouvés?
Enfin, peut-être m'aider pour une ou deux fonctions, le reste j'essaierai tout seul?

[Ben314]

J'ai pas suivi grand chose...
Visiblement, tu est parti sur du en prenant la détermination dite "principale" du log sur .
Ensuite, tu as cherché l'ensemble de définition de ton bidule et tu as montré que
.
C'est ça ?

Déjà, une première remarque : il eut pu (éventuellement) être plus malin de regarder si une autre détermination du Log ne conduisait pas à un domaine de définition de ton truc mieux adapté à la figure donnée.
Mais, c'est pas grave : on va partir là dessus, quitte, une fois le truc terminé, à dire qu'il y avait un peu plus simple.

Sinon, si c'est effectivement ça que tu as fait, vu le domaine de définition du bidule,
1) Déjà, le coupe l'ensemble de départ en deux composantes connexes -> sur chaque composante, on pourra prendre une constante différente pour le log et voir si ça "recolle" entre les deux
2) Mais surtout, sur chaque composante, il y a une "coupure" lié au [-1,1] et a mon avis, il faut commencer par regarder si, de chaque coté de la "coupure", ta fonction donne le même résultat (sinon c'est foutu...)

[Lostounet]

Bonsoir Ben,
D'abord merci pour ta réponse.

Oui c'est effectivement ce que j'ai fait. Je travaille avec la détermination principale du Log, sur C privé de R- et j'ai trouvé que z ne pouvait pas être sur [-1;1] ni sur iR.

Ensuite si je comprends bien, pour tout z de U1, on peut appliquer la définition du Log complexe et il y a deux choses à regarder:
1. La continuité de la fonction en arrivant à droite et à gauche de la l'axe iR
2. La continuité de la fonction de part et d'autre du segment [0;1] (ou [-1;0]) en arrivant du haut/du bas ?

Si ça ne te dérange pas, faisons Log(z^2 - 1) avant la racine de (z^2 - 1) pour que j'y vois quelque chose.

Pour tout z de U1, on peut écrire:

C'est bien ça?

Si je note z = x + iy
Et que je fais tendre le x vers 0+ et 0- ...
je trouve un truc du style:

Log(z^2 - 1) = 1/2 ln(|y^2 - 1|) + iArg(-y^2 - 1 + petitplus)

Log(z^2 - 1) = 1/2 ln(|y^2 - 1|) + iArg(-y^2 - 1 + petitmoins) c'est l'argument d'un réel négatif, donc on va dire -pi ?

Ou je suis dans un délire depuis tout à l'heure?

[Ben314]

C'est plus ou moins ça, mais tu trimbale des z=x+iy de partout alors que justement, on sait où il faut regarder pour voir s'il y a problème ou pas.
Donc a mon sens, dans ta prose, il faudrait que tu écrive en toute lettre que tu prend un fixé (donc moi je l'aurais appelé b) tel que soit dans la partie grisée du dessin pour bien préciser (graphiquement) ce que tu es en train de faire.

Sauf qu'a mon avis, c'est pas malin de commencer par là vu que "a droite" et "à gauche" de ton , c'est des composantes connexes différentes de ton domaine donc tu aurais parfaitement le droit de prendre deux déterminations différentes du log (i.e de l'argument) sur ces deux domaines.
Modulo ça, tu peut te dire qu'en ajustant correctement les deux Log (i.e. les deux arguments), ça va forcément coller et donc... que le problème c'est pas là qu'il va se situer mais juste au dessus/au dessous des segments [-1,1] où là, vu que tu peut faire le tour par l'autre coté (de 1 ou de -1) tu va être obligé de prendre le même log.

[Ben314]

Pour reprendre à peu prés ta prose, on prend situé dans le domaine gris.
On veut regarder ce que donne la fonction en et en (avec réel strictement positif qu'on va faire tendre vers 0).
Le problème, c'est que, comme et sont dans deux composantes connexes différentes du bidule, ce que tu va écrire, c'est


où les fonction et sont deux fonction argument et tout ce que ça te dira, ben c'est qu'il faut pas prendre la même fonction argument des deux cotés...

[Lostounet]

D'accord Ben je vais réfléchir pour l'argument...
Merci d'avoir repris ma prose. Mais c'est vrai qu'elle nous dit quelque chose qu'on devine déjà... on doit prendre deux Arg qui sont pas pareil.

Le point 1 peut me voir si je tourne autour de -1 euh... Bon je tente le coup pour l'argument...

Si j'ai bien compris je dois choisir Arg tel que (z - 1) et (z + 1) aient chacun même argument de part et d'autre de l'axe des abscisses (up and down) ?

[Ben314]

Pour le moment (et d'ailleur même plus tard, c'est un piège à c...) je te déconseille plus que vivement tout ce qui pourrait ressembler de prés ou de loin à du Log(axb)=Log(a)+Log(b) ou du lorsque a et b sont des complexe vu que c'est trés trés faux en général : ça va être vrai sur "des petits bouts" du domaine et vrai "à une constante prés" sur d'autres bouts, enfin bref, la merde complète...

Donc là, je te conseillerais de faire exactement la même chose : tu prend un situé ....
Et tu regarde ce qu'il se passe de "chaque coté" pour voir si "ça colle".

[Lostounet]

Ce que j'ai envie de faire, c'est de regarder les 4 angles extrémas en faisant deux tangentes communes aux cercles. Cela peut donner une idée des bornes non?

[Ben314]

Là, je comprend vraiment pas ce qui peut te passer par la tête....
Les dessins en question, c'est du "main levé" et on se fout comme de l'an 40 de savoir si les vagues ronds qui apparaissent sont ou pas de cercles et on se fout aussi de savoir s'ils ont des tangentes ou pas (ça serait des carrés, ça changerais que dalle...)
Le seul truc à "lire" sur le dessin, c'est que le segment [-1,1], il coupe "un peu" le domaine dessiné, mais "pas assez" pour créer de nouvelles composantes connexes.

Pourquoi tu fait pas la même chose que dans le cas d'un ?

Perso, je partirais d'un fixé qui soit dans le domaine gris (on "voit" qu'il en existe sur le dessin) et je regarderais et pour réel >0 qu'on va faire tendre vers 0.

[Lostounet]

Ah, je vais regarder demain Ben j'ai compris je crois.
Comme j'ai bossé sur la partie réelle je peux faire sur l'imaginaire!
Pour mon délire: je croyais bien faire en faisant tourner z et observant son argument mais tu n'as pas aimé donc c'est du non sens.

Bonne nuit et merci encore!

[Lostounet]

Bonjour Ben,

Si on fixe a dans [0;1] (normal on veut regarder là où c'est coupé)
Si je regarde f(a + it) = 0.5ln|a^2 + t^2| + i Arg(a + it)
f(a - it) = 0.5 ln|a^2 + t^2| + i Arg(a - it)

Lorsque t tend vers 0 (quelle justification pour la composée avec la fonction Arg?),
et en fait je vois que... enfin je ne vois pas de problème vu que Arg(a) avec a fixé positif (ou négatif d'ailleurs) cela ne va pas beaucoup affecter la continuité de l'argument.