Analyse complexe : déterminations de fonctions

[fleurbleue]

Bonjour
Alors cela fait plusieurs jours que je bloque sur une notion : la détermination d'une fonction compexe. Lorsqu'on nous demande, d'une manière générale, de déterminer s'il existe une détermination continue d'une fonction que cela signifie-t-il?
Par exemple lorsqu'on a un ouvert connexe U et on cherche à savoir s'il existe une détermination continue de log z ( pour z appartient à U) ou de log (z^2 - 1) que faut-il faire exactelment?
Si vous pourriez m'éclairer sur ce sujet je vous en serai très reconnaissante.
Je vous remercie d'avance

[Skullkid]

Bonsoir, le terme s'applique aux fonctions qui sont a priori multivaluées. Par exemple, un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments, donc si on veut définir proprement une fonction arg, il faut choisir un argument particulier pour chaque complexe. La fonction qu'on obtient une fois qu'on a fait ce choix s'appelle une détermination de l'argument.

Ainsi, il y a une détermination de l'argument à valeurs dans (on l'appelle la détermination principale), il y en a une autre à valeurs dans , etc. On peut aussi en imaginer des plus farfelues, par exemple une qui prendrait des valeurs dans sur le demi-plan supérieur et dans ailleurs...

Évidemment, quand on choisit une détermination, on a envie qu'elle se comporte bien, i.e. qu'elle soit la plus lisse possible (continue, holomorphe, ... ) et définie sur un domaine le plus grand possible. Le problème c'est qu'en général on ne peut pas avoir le beurre et l'argent du beurre, et typiquement on est obligé de restreindre le domaine de définition si on veut préserver la continuité. Avec la fonction argument, les problèmes surviennent lorsque le domaine sur lequel on travaille contient un lacet autour de zéro : en suivant un tel lacet, l'argument va forcément devoir "sauter" de à un moment ou un autre, de telle sorte que la détermination ne saurait être continue.

En règle générale, dès que tu travailles avec de l'argument, du logarithme ou des racines n-ièmes, il faut souvent commencer par se demander s'il existe une détermination continue/holomorphe de ta fonction sur le domaine qui t'intéresse. Si oui, c'est cool et tu as accès aux outils classiques de l'analyse. Si non, galère en perspective.

[fleurbleue]

Merci la réponse est très claire au début. Par contre je n'ai pas très bien compris lorsque vous dites " les problèmes surviennent lorsque le domaine sur lequel on travaille contient un lacet autour de zéro :en suivant un tel lacet, l'argument va forcément devoir "sauter" de 2pi " Pourquoi ? Si on a un lacet autour de 1 ou de -1 l'argument va aussi sauter de 2pi ?

[Skullkid]

Si le lacet "n'enferme" pas zéro il n'y a pas de problème. Prends par exemple , lacet qui tourne autour de 1. Tu peux assigner un argument à tous les — par exemple celui dans , qui se trouve même être dans — sans avoir aucun souci de continuité. Si tu parcours le lacet dans le sens trigo a partir de z = 3/2, l'argument va augmenter de 0 jusqu'à un certain maximum (égal à arcsin(1/3), sauf erreur), retomber à 0 quand tu atteinds z = 1/2, puis partir dans les valeurs négatives pour enfin revenir à zéro à la fin du tour complet.

Par contre si tu considères la détermination principale de l'argument (celle à valeurs dans ), tu vas avoir un souci avec le lacet au voisinage de -1 : dans le demi-plan supérieur l'argument sera proche de , et dans le demi-plan inférieur il sera proche de .

Avec mon premier lacet, celui qui tourne autour de 1, c'est les déterminations continues de qui posent problème.

[fleurbleue]

Désolée si je t'embête ( à vrai dire je viens de commencer le chapitre et les notions sont encore un peu floues)
mais j'ai pas tout à fait compris les deux derniers paragraphes. Le deuxième lacet tourne autour de 0 non ? que vient faire le -1 ici ? Et pourquoi y'aurai-t-il un soucis avec -1 ? Pourquoi arg (z-1) poserait-il problème ? Je suis vraiment désolée si je suis un peu"lourde" mais j'essaie vraiment e comprendre.

[Skullkid]

Pas de souci, le but du jeu est que tu comprennes.

Mon deuxième lacet tourne effectivement autour de 0, c'est d'ailleurs pour ça qu'il y a un problème. Le problème se trouve au voisinage du point z = -1 sur le lacet, c'est à cet endroit que la détermination principale de l'argument est discontinue (en fait elle est discontinue sur toute la demi-droite des réels négatifs).

Maintenant si au lieu de chercher une détermination continue de arg(z), tu en cherches une de arg(z - 1), par changement de variable (continu) z = w + 1, tu vas avoir des problèmes quand w peut tourner autour de 0, i.e. quand z peut tourner autour de 1.

[fleurbleue]

Ah oui je vois mieux maintenant... Mais là tu as pris comme exemple la fonction argument. Si on prend la fonction log(z-1) ou racine carré (z-1) on fait comment ? C'est à dire si on cherche à savoir s'il existe des déterminations de ces fonctions comment faut-il procéder ?

[Lostounet]

Ah oui je vois mieux maintenant... Mais là tu as pris comme exemple la fonction argument. Si on prend la fonction log(z-1) ou racine carré (z-1) on fait comment ? C'est à dire si on cherche à savoir s'il existe des déterminations de ces fonctions comment faut-il procéder ?

Salut Fleurbleue,

La raison pour laquelle on se concentre sur l'Argument au début est pour pouvoir définir un logarithme complexe (pourquoi?). Une fois le logarithme défini (par exemple la détermination principale du logarithme Log), tu peux te dire que
(pour la racine cela serait alpha = 1/2).

Si tu as du mal, tu devrais regarder le poly de Michèle Audin d'introduction à l'analyse complexe qui est très bien expliqué et détaillé. C'est un super cours introductif que tu peux trouver sur le net et qui t'expliquera ces notions.

[fleurbleue]

D'accord merci beaucoup Skullkid pour tes réponses. Je te remercie aussi Lostounet, j 'y jeterais un coup d'oeil .

[mathelot]

bonsoir
on commence à définir le logarithme ponctuellement avec


on peut donc poser

Pour que cette valeur soit monovaluée, on peut prendre



sur l'ouvert du plan d'équation
et sur l'ouvert d'équation
en différentiant

la forme différentielle est fermée.
Elle est exacte sur un ouvert simplement connexe
Sur un ouvert simplement connexe , par exemple C privé des réels négatifs,on définit

où est le segment de droite de classe C1 reliant 1 à z
Sur un ouvert simplement connexe , l'intégrale ne dépend pas du chemin considéré.

Par exemple sont simplement connexes les ouverts convexes ou étoilés.