Determination de 2 application

[Anonyme]

il faut determiner toutes les applications derivable qui verifient ses 2 conditions
f(x+y)=f(x)+f(g(y)) et que g(x+y)=g(x)+g(f(y)) pour tout x,y.
merci et bonne annee a tous.

[Fract83]

Hello,

> "il faut determiner toutes les applications derivable "

Eh bien derive donc mon ami !! :happy2:

Bonne journee.

[yos]

Je trouve f(x)=x-b et g(x)=x+b.
Avec b quelconque.

[Anonyme]

Tu peux m expliquere comment tu obtient ses resultat car je ne comprends pas du tout

[yos]

En suivant le conseil de fract 83.

[Pythales]

En dérivant par rapport à x : f'(x+y)=f'(x) et g'(x+y)=g'(x)
en dérivant par rapport à y : f'(x+y)=g'(y).f'(g(y)) et g'(x+y)=f'(y).g'(f(y))
soit : f'(x)=g'(y).f'(g(y))=a (le 1er membre ne contient que x, le 2ème que y) et g'(x)=f'(y).g'(f(y))=c (même raison)
soit f(x)=ax+b et g(x)=cx+d. En reportant ces valeurs dans les équations de départ, on trouve :
ay=acy
b=b+ad+b
cy=acy
d=d+bc+d
soit a=c=1 et b+d=0

[yos]

f'(x+y)=f'(x) suffit pour conclure que f' est constante (donc f affine).