Déterminant de Vandermonde

[ArtyB]

Bonsoir,
Je dois résoudre le système suivant:
x+y+z=1
ax+by+cz=d
a²x+b²y+c²z=d²

On a donc la matrice A associée qui est une matrice de Vandermonde à ce que j'ai pu comprendre car il y a une progression géométrique par ligne: on multiplie par a, b, c et d.
En revanche, à partir de ce que j'ai trouvé sur l'internet je n'ai pas réussis à comprendre comment calculer le "déterminant de Vandermonde". Pourriez-vous m'aider ?

[capitaine nuggets]

Bonsoir,
Je dois résoudre le système suivant:
x+y+z=1
ax+by+cz=d
a²x+b²y+c²z=d²

On a donc la matrice A associée qui est une matrice de Vandermonde à ce que j'ai pu comprendre car il y a une progression géométrique par ligne: on multiplie par a, b, c et d.
En revanche, à partir de ce que j'ai trouvé sur l'internet je n'ai pas réussis à comprendre comment calculer le "déterminant de Vandermonde". Pourriez-vous m'aider ?

On peut résoudre ton système à l'aide de la méthode des déterminant :

Calculons pour cela le déterminant associé au système (c'est un déterminant de Vandermonde) :

[CENTER][/CENTER]

(Il fournira un condition nécessaire et suffisante sur l'existence ou non de solutions).
Par des opérations sur les colonnes, on a :

[CENTER].[/CENTER]

Résous .
Si alors ton système admet soit une infinité de solutions, soit aucune (il faut donc résoudre le système pour le savoir) ;
Si alors ton système (dit de Cramer) admet une unique solution et elle est donnée par :

[CENTER].[/CENTER]

où :

[CENTER][/CENTER]

[ArtyB]

Merci de votre réponse, je n'avais pas compris comment cela marchait mais c'est juste par opérations sur les colonnes en fait.
Du coup on trouve det=bc(c-b)+ab(b-a) y a t il une autre simplification ?

[capitaine nuggets]

Merci de votre réponse, je n'avais pas compris comment cela marchait mais c'est juste par opérations sur les colonnes en fait.
Du coup on trouve det=bc(c-b)+ab(b-a) y a t il une autre simplification ?

Oui, tu as probablement dû tout développer, mais en faisant uniquement des opérations sur les lignes et les colonnes, tu finis par trouver que :

[CENTER][/CENTER]

:+++:

[ArtyB]

Etrange moi je trouve det=(c-a)(c-b)(b-a)
car je mets (b-a) en facteur puis (c-a). N'est-ce pas comme cela qu'il faut faire ?
Ok quand on développe on trouve la même chose, je suis idiot...

[ArtyB]

En revanche on trouve des solutions pas jolies en faisant les quotients des discriminants pour trouver x y et z, dans le sens où ça nous fait des quotients peu simplifiables

[capitaine nuggets]

Etrange moi je trouve det=(c-a)(c-b)(b-a)
car je mets (b-a) en facteur puis (c-a). N'est-ce pas comme cela qu'il faut faire ?
Ok quand on développe on trouve la même chose, je suis idiot...

[CENTER][/CENTER]

En revanche on trouve des solutions pas jolies en faisant les quotients des discriminants pour trouver x y et z, dans le sens où ça nous fait des quotients peu simplifiables

Si tu regardes bien dans les formules de que je t'ai donné :

- le déterminants n'est ni plus ni moins que le déterminant où l'on a remplacé par donc il faudra faire les mêmes calculs que pour calculer . En conséquence, tu en déduis que ;
- le déterminants n'est ni plus ni moins que le déterminant où l'on a remplacé par donc ;
- le déterminants n'est ni plus ni moins que le déterminant où l'on a remplacé par donc .

[paquito]

Tu obtiens un résultat qui peut être théoriquement important: distincts

[paquito]

On peut aller un peu plus loin;en dimension 4, une matrice de vendermonde (ou sa transosée, ce qui ne chage rien au niveau du déterminant), s"écrit:
, faisons les opérations et,on obtient donc dét(A)= dét(A''), avec près avoir mis en facteur; comme A'' est une matrice de Vandermonde; on obtient détdét(A''), donc on établira par récurrence que
dét. Il ya aussi les déterminants circulants qui constituent un autre "classique"; je te donne le lien: http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_circulante