Determinant de matrice

[ArtyB]

Bonjour,

J'aurais besoin d'une petite piste pour trouver la méthode pour résoudre cet exercice s'il vous plait.

Soit la matrice suivante dont tous les coefficients sont nuls sauf:
-la première colonne: premier terme 1+a et que des 1 en dessous
-la diagonale principale premier terme 1+a et que des a partout
-la surdiagonale: tous les termes valent -1

Calculer le determinant de A_n

[aymanemaysae]

Qu'obtenez-vous si vous ajoutez à la première colonne la somme de toutes les autres?

[MouLou]

Très malin cette idée

[ArtyB]

Ah bah c'était la bonne piste alors ? Parce que je l'ai fait mais je n'ai rien vu qui puisse aider justement

[MouLou]

Je laisse aymanemaysae te guider

[aymanemaysae]

Vous pouvez développer par rapport à la colonne qui a le plus de '0' et obtenir une relation de récurrence. Sinon vous pouvez dés le départ développer par rapport à la première colonne et voir la forme des déterminants de rang (n-1) que vous obtenez: prenez un exemple avec n=5, vous allez voir la forme.

[Robot]

Dans toutes les colonnes sauf la première, on a un juste au-dessus d'un .
Ca peut donner l'idée suivante : ajouter à la dernière ligne fois l'avant dernière, plus fois l'avant-avant-dernière, ... plus fois la première.

[ArtyB]

@aymanemaysae
J'ai fait l'exemple par rapport à 5 justement et en faisant sommant les n-1 dernières colonnes et ne les ajoutant à la première, on n'a pas une colonne qui a plus de 0 que les autres. Toutes les colonnes exceptée la première ont trois 0...

Pour A=


si on somme les 4 dernières colonnes et qu'on les ajoute à la première colonnes, on obtient:




@robot:
Et on obtiendrait la matrice dont la dernière ligne est nulle sauf pour le premier terme qui serait la somme des a^n, n allantde 0 à n et on développe par rapport à la dernière ligne?

[Lostounet]

Je me demande si on pourrait par exemple faire la même opération pour toutes les colonnes: toutes les colonnes reçoivent la somme des autres.
Je vais voir si cela peut donner quelque chose.

Edit: Je sais pas pourquoi mais je trouve un det nul, c'est pas bon :ptdr:

[ArtyB]

@Lostounet
Je l'ai déjà fait ça donne la matrice dont tous les coefficients sont a sauf la dernière ligne où ils sont tous 1+a

[Lostounet]

@Lostounet
Je l'ai déjà fait ça donne la matrice dont tous les coefficients sont a sauf la dernière ligne où ils sont tous 1+a

C'est choquant non ? :p Vu que les vecteurs colonnes sont égaux?? donc pas indépendants...
Edit: Je pense qu'on a fait une fausse manip en les rendant dépendants :ptdr:

[aymanemaysae]

Pour la récurrence, on trouve:
n=2 , det(A)=a^2+a+1
n=3, det(A)=a^3+a^2+a+1
n=4, det(A)=a^4+a^3+a^2+a+1
n=5, det(A)=a^5+a^4+a^3+a^2+a+1
cela donne une idée sur le résultat.

[ArtyB]

@Lostounet
Yep j'y ai pensé, on dit que la famille de vecteurs formant la matrice A est liée et donc que le determinant est nul c'est ça ?

[Lostounet]

@Lostounet
Yep j'y ai pensé, on dit que la famille de vecteurs formant la matrice A est liée et donc que le determinant est nul c'est ça ?

Oui mais non, c'est faux on a pas le droit de faire ça.
Imagine tu as un vecteur u(2; 3) et un vecteur v(1; 4) u et v sont non colinéaires mais du coup
ce qu'on aurait fait, c'est former le vecteur (u + v) et (v + u) par nos opérations élémentaires donc clairement que ça va donner un truc lié :ptdr:

Suis les indications d'Aymane et de Robot c'est mieux :marteau:

[Robot]

@robot:
Et on obtiendrait la matrice dont la dernière ligne est nulle sauf pour le premier terme qui serait la somme des a^n, n allantde 0 à n et on développe par rapport à la dernière ligne?

En voila une idée qu'elle est bonne !

[ArtyB]

@Lostounet
Oh mon dieu, c'est tellement stupide de ma part d'avoir écrit ça, je devrais réfléchir un peu plus parfois...

@aymanemaysae
Merci pour l'expression de la relation de récurrence, on a donc:
soit:
si je ne me trompe pas dans mes formules

[aymanemaysae]

Le marchand de sable frappe à ma porte, donc avant qu'il entre, veuillez trouver ici la solution de la version générale de ce problème à la page 438 (l'énoncé) et la page 1859 (le corrigé).

[Robot]

Bof, la méthode (classique) que j'ai suggérée est nettement plus directe.

[ArtyB]

@Robot en reprenant ta méthode, et en l'utilisant avec n=5, soit
Pour A=
En ajoutant à la dernière ligne a fois l'avant dernière, a^2 fois l'avant-avant dernière etc on obtient:



On peut donc développer par rapport à la dernière ligne et on a:
,
avec B=

Or pour B on peut faire un développement par rapport à la première ligne puis encore et encore soit det(B)=(-1)^m où m est la dimension de la matrice B ie m=n-1 et on a

[Robot]

Deux remarques :
1) tu as oublié un signe dans le développement suivant la dernière ligne.
2) la matrice B est triangulaire, son déterminant est directement le produit de ses coefficients diagonaux.
Au total, le signe est .