Déterminant matrice aléatoire.

[Calculstochastix]

Bonjour,

Est-ce que quelqu’un saurait m’aider pour les questions 2 et 3 de l’exercice suivant ?

Notons B_n l’ensemble des matrices de taille n x n, dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de même loi que 2B-1, où B est une v.a. suivant une loi de Bernoulli de paramètre 0,5 .

1. Calculer la variance de det sur B_n .

2. Soit f une fonction sur N^* à valeurs réelles strictement positives telle que la limite de f(n) \sqrt{n!} soit +infini. On note p_n la probabilité qu’une matrice de B_n ait un déterminant supérieur ou égal à f(n). Montrer que (p_n) converge vers 0.

3. Montrer que pour une infinité de valeurs de n, le maximum de det sur B_n est supérieur ou égal à ( n+1)^((n-1)/2).

Merci d’avance

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Quelle est ta réponse à la question 1 ?

Cette réponse devrait te faire penser à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la question 2.

L'hypothèse est bien que tend vers l'infini quand rend vers l'infini ? Ton antislash \ prête à confusion.

[Calculstochastix]

Pour la 1., j’ai trouvé que la variance vaut n!.

Pour la 2., mon énoncé parle de la limite du produit de f(n) par la racine carrée de n!. Cependant, je pense que c’est une erreur aussi et qu’il faut supposer que c’est le quotient et non le produit qui diverge vers l’infini, pour pouvoir utiliser B-T comme tu l’indiques.

[GaBuZoMeu]

C'est évidemment une erreur : si on prend pour la fonction constante 1, alors la condition est bien vérifiée, et on te demanderait en fait de démontrer que la probabilité qu'une matrice de ait un déterminant nul tend vers 1 quand tend vers l'infini.

[GaBuZoMeu]

Je trouve la troisième question assez bizarre.

On voit assez facilement que le maximum du déterminant est inférieur ou égal à , et ce majorant est atteint pour une infinité de valeurs de (pour tous les qui sont des puissances de 2).