Determinant avec des sinus

[zobobo]

bonjour

je dois calculer le determinant de la matrice dont le terme general est sin(i*a(j)) pour i et j dans {1 , ... , n}. a(j) designe juste le reel a indice j.

merci

[primeshu]

On peut s'ecrire sin( i*a_j) comme une polynôme de sin(a_j).

après, on utilse le dét de Vandermonde.

[zobobo]

on ecrit sin(k*a_j)=P_k(sin(a_j)) où P_k est un polynome de degré k.
Le probleme est que les coefficients des P_k sont différents, i.e le coeff devant X² pour P_3 n'est pas le meme que pour P_5 par exemple, dc je ne vois pas cmt on peut se ramener à Van der Mond.

[primeshu]

mais si on fixe i,pour tous les j, P_i est le meme.

On considere le 1re ligner et le 2nd. apres les 1er, 2nd ,3er ligns. Vous pouvez voir comment se ramener à Van der Mond.

[zobobo]

On peut s'ecrire sin( i*a_j) comme une polynôme de sin(a_j).

Tchebychev vrai pour cos pas pour sin à ce que je sache, sin( i*a_j) ne peut s'exprimer comme polynome de sin(a_j).

Mais sinon, je vois tjrs pas cmt se ramener à VdM

[primeshu]

Désolé, je suis trombé.

Je pense que l'on peut se ramener à dét(cos((i-1)*a_j)).

1. Pour n-ième ligne, on remplace par sin(n*a_j)-sin((n-1)*a_j), ie 2cos((n-1/2)a_j)sin(a_j/2). apres le meme pour n-1-ième ligne...

Donc il faut seulement calculer dét(cos((i-1/2)*a_j)).

2. Pour dét(cos((i-1/2)*a_j)). Pour n-ième ligne, on remplace par cos((n-1/2)*a_j)+cos((n-3/2)*a_j), ie 2cos((n-1)a_j)cos(a_j/2).

Donc il faut seulement calculer dét(cos((i-1)*a_j)).

3. On utilise la methode on a déjà parlé pour celà.

Désolé pour mal écrire.