Des 0 entre les 1

[Nightmare]

Salut à tous !

Voici un problème amusant que je vous soumets, je n'ai pas la réponse.

On sait que la série 0,11111.... converge vers le nombre 1/9, rationnel.

Disons que l'on dispose des 0 entre les 1. Le placement des 0 va changer évidemment la convergence. Si l'on considère par exemple le placement suivant : 0,1100010000010... où les 1 sont placés à tous les n!, on obtient un nombre transcendant (Je vous laisse en chercher une preuve).

Je m'attends au résultat suivant : Parmi tous les placements de 0 permettant la convergence, il n'y en a presque aucun (au sens de la mesure) qui permet d'obtenir un nombre algébrique\rationnel

Je ne sais pas si le résultat est juste et encore moins comment le prouver.

Je cherche en plus à savoir si on a une CNS sur les manières de placer les 0 pour obtenir un nombre algébrique\rationnel.

On l'aura compris que tout ceci se résume à caractériser les fonctions f : N -> N telles que soit algébrique

Si le problème vous intéresse, j'attends avec joie vos contributions !

:happy3:

[Nightmare]

Pas d'idées?

[busard_des_roseaux]

euh, j'ai pensé à ce résultat:

déf:
soit un nombre irrationnel. . on dit que est une mesure d'irrationnalité pour s'il existe une constante C>0 telle que pour tout rationnel p/q avec q>0 on ait


le thm de Liouville entraine que tout nombre algébrique de degré d admet d pour mesure d'irrationnalité.
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Pour les sommes partielles de la série, écrites en fractions de dénominateur, une puissance de 10, si la limite est algébrique, ça interdit
qu'il y ait trop de zéros dans les décimales du développement.

[abcd22]

Bonsoir,

Parmi tous les placements de 0 permettant la convergence

Tous les placements de 0 permettent la convergence vers un nombre plus petit que 1/9, si j'ai bien compris l'énoncé.

il n'y en a presque aucun (au sens de la mesure) qui permet d'obtenir un nombre algébrique\rationnel

Je pense que ce résultat est vrai, car il y a (ensemble indénombrable) tels placements, qui donnent tous des limites différentes, et seulement un nombre dénombrable de nombres algébriques dans (et dans aussi d'ailleurs).
Après si tu veux la caractérisation précise des parties de qui vont marcher, je n'ai aucune idée.

[abcd22]

Après si tu veux la caractérisation précise des parties de qui vont marcher, je n'ai aucune idée.

Si on met un nombre fini de 1 ça donne un nombre rationnel puisque décimal, si on met un nombre fini de 0 on a un rationnel aussi puisque c'est 1/9 - (un décimal). Avec une infinité de 0 et une infinité de 1 ça donne un rationnel si et seulement si le développement décimal est périodique à partir d'un certain rang (les cas où on a un nombre fini de 0 ou de 1 sont en fait des cas particuliers de période 1 à partir d'un certain rang), et je ne sais pas comment caractériser les cas où on obtient un nombre algébrique non rationnel.

[Nightmare]

Salut à tous et merci de votre participation !

Busard > Oui c'est de cette approximation que je parlais, avec elle on peut montrer la transcendance pour certaines fonctions f (en particulier pour f(n)=n!).

abcd22 > Ok avec ton dernier post par contre le premier, que désignes-tu par N ?

[abcd22]

abcd22 > Ok avec ton dernier post par contre le premier, que désignes-tu par N ?

Je ne prends pas le problème de la même façon que toi. Je considère qu'un nombre (positif et < 1) dont le développement décimal ne comprend que des 0 et des 1 correspond à la donnée d'une partie de , celle de toutes les positions où il y a un 1, avec un décalage de 1, par exemple 0,1 correspond à {0}, 0,011 correspond à {1, 2}. Et il y a (où cette fois correspond au cardinal de [tex]\mathbb{N}) tels nombres.
En fait après relecture du problème comme tu l'as posé, tu ne considères que les nombres dont le développement décimal a une infinité de 1 alors que je considère aussi ceux qui ont un nombre fini de 1, mais ça ne change pas le résultat.

[Nightmare]

Ok, je vois ton raisonnement, mais effectivement du coup ça n'aide pas à trouver de caractérisation !

Sinon je considère bien des placements dans la série initiale 0,1111... donc on a bien une infinité de 1 mais comme tu dis ça ne change pas la nullité de la mesure.