Bijection entre les homomorphismes de groupes de Z/nZ dans G et les éléments de G don

[superkader5]

Bonjour voici l'énoncé:
Soit G un groupe et n>=1 , Montrer qu'il existe une bijection entre les homomorphismes de groupes de Z/nZ dans G et les éléments de G dont l'ordre divise n.

J'ai posé l'application f: Hom(Z/nZ,G) -> H={g dans G tq ordre(g)/n}
phi -> phi (1 (bar))

avec phi : Z/nZ -> G

je n'arrive pas a montrer que f est injective ni que f est surjective.

f injective: je calcule le noyau Kerf={phi dans Hom(Z/nZ,G) tq f(phi)= e}
deja en voyant l'écriture f(phi) ca me semble un peu bizarre et en + phi (1(bar))=e je ne voit pas comment résoudre ca.

f surjective: je voit pas comment montrer que Imf=H
j'ai plutot essayer de revenir a la définition cad
je prend un g dans H donc ordre(g)/n et je doit montrer qu'il existe une application alpha dans Hom(Z/nZ,G) tq f(alpha)=g

je pose donc alpha: Z/nZ -> G
k (bar) ->g^k

je fais f(alpha) mais cette écriture m'embête parce que je ne peux rien faire avec.

Si quelqu'un peut m'aider. Merci

[Doraki]

G est un groupe commutatif ?

ton application f c'est l'application qui à un morphisme phi associe sa valeur en 1 ? (ou la classe de 1 dans Z/nZ si tu préfères).

Commençons par montrer que f est injective.
Si tu tiens à regarder le noyau de f ça voudrait dire que f est un morphisme de groupes lui même, donc c'est un peu de la triche au point où on en est.

Supposedonc qu'il existe deux morphismes p et q : Z/nZ -> G tels que f(p) = f(q),
c'est à dire tels que p(1) = q(1) dans G.
Il s'agit de montrer que p = q, donc que p(2) = q(2), p(3) = q(3), etc.

[superkader5]

G n'est pas forcément un groupe commutatif.

C'est vrai que pour l'injectivité on ne sait pas si f est un morphisme donc utilisé le noyau ce ne serait que triché.

Quand je dit 1 bar c'est la classe de 1.
Pour votre démonstration en ce qui concerne l'injectivité je l'ai comprise donc pour montrer l'injectivité faut montrer que pour tout k bar dans Z/nZ p(k)=q(k)
et ce sera réglé. avec p,q: Z/nZ->G morphisme

En faite p(k)=p(1+1+...+1)=p(1)^k or p(1)=q(1)
q(k)=q(1)^k

donc p(k)=q(k)

Maintenant i reste a faire la surjectivité, ce qui rend pas les choses faciles?

[Doraki]

Ah oui, la commutativité n'est pas importante en fait.

C'est bon pour l'injectivité.
la surjectivité est en fait pas beaucoup plus dure.

On prend un élément x de G dont l'ordre divise n ;

Il faut construire une application phi de Z/nZ dans G, telle que phi(1) = x,
de sorte que ce soit un morphisme de groupes.

Est-ce qu'il y a plein de façons de choisir les autres valeurs de phi ?
est-ce bien un morphisme ?

[superkader5]

l' application alpha: Z/nZ -> G
k (bar) ->g^k
est bien un morphisme on le vérifie en 2 ligne mais pourquoi si je prend g tel que ordre(g) divise n alors g = phi (1)?

[Doraki]

Parceque dans ta définition de phi il faut que tu vérifies que g^k est indépendant du k choisi dans la classe de k, sinon ça veut rien dire.
Quelque part il faut que tu vérifies que g^n = phi(1)^n = phi(n) = phi(0) = e.