Dérivées sin et cos

[abcd22]

Bonjour !
En fait on peut définir exp(z) comme la somme d'une série (pour z complexe), puis on définit cos et sin comme les parties réelle et imaginaire de exp(ix) (on a donc leurs expressions comme sommes de séries entières), et on peut montrer des propriétés de cos et sin en partant de cette définition. Ce n'est pas évident que cette définition du sinus et du cosinus coïncide avec la définition géométrique qu'on voit au collège, et ce n'est évidemment pas la définition historique de ces fonctions, mais on obtient les dérivées sans tourner en rond comme ça.

[Sdec25]

Justement c'est là que ça bloque.
Pour répondre à simplet, on peut dériver exp(ix) en développant en série entière, à priori ça marche.
Mais le problème c'est que, pour dire que exp(ix) = cos x + i sin x, il faut connaître le développement de cos et de sin, donc connaître leurs dérivées (s'il y a une autre méthode ça m'intéresse), pour ensuite développer ch et sh, et trouver cette relation entre exp, cos et sin.

[murray]

Mais le problème c'est que, pour dire que exp(ix) = cos x + i sin x, il faut connaître le développement de cos et de sin, donc connaître leurs dérivées (s'il y a une autre méthode ça m'intéresse), pour ensuite développer ch et sh, et trouver cette relation entre exp, cos et sin.

justemment, l'égalité exp(ix)=cos(x) +isin(x) est une définition de cos et sin

[simplet]

ahh d'accord! on dérive la série entière trouvée pour cos, et on s'apercoit que c'est la même que sin !! (et vice versa)

Et comme je le disais, on ne dérive pas exp(it) pour ensuite faire une identification!!

Et là ca marche!!

[Pythales]

La dérivée de est la limite de lorsque
Si on trace le cercle trigonométrique, on s'aperçoit que le numérateur est la projection de dur l'axe oy, qui vaut . La conclusion est immédiate.

[Chimomo]

Le problème de cette discussion c'est qu'il y a plein de façons toutes équivalentes de définir cos et sin. On peut les définir par des séries entières (on peut d'eilleurs poser directement les séries si on veut sans passer par exp) et la c'est très facile. On peut les définir géométriquement et tout se démontre aussi (comme ca a été fait au au début du topic puisque les formules d'addition se démontrent elles aussi géométriquement). Mais on peut aussi définir cos et sin par une équations différentielle :
sin est l'unique (d'aprés Cauchy-Lipschitz) solution de y'' + y = 0 telle que
y(0) = 0 et y(1) = 1.
cos est l'unique (d'aprés Cauchy-Lipschitz) solution de y'' + y = 0 telle que
y(0) = 1 et y(1) = 0.

On pourrait montrer que cette définition est équivalente aux deux précédentes. On pourrait aussi (enfaisant très attention cependant) les définir par les séries de Fourrier.

Il faudrait donc choisir la défintion utilisée avant de montrer les propriétés sur la dérivée.

Attention par contre, esp(it) n'est pas une notation, c'est une fonction définie sur toute K-algèbre normée (on peut par exemple calculer des exponentielles de matrices ou d'applications).