Dérivées sin et cos

par **murray** » 24 Juin 2006, 12:21

bonjour,
je me demandais comment démontrer rigoureusement le calcul des dérivées de sin et cos.
Merci de vos suggestions.

par **Nightmare** » 24 Juin 2006, 12:29

Bonjour :happy3:

Lorsque h tend vers 0, le rapport tend donc vers cos(a)

:happy3:

par **nox** » 24 Juin 2006, 12:44

pas forcément immédiat comme limite ^^

par **nox** » 24 Juin 2006, 12:49

Nightmare a écrit:

non...

ensuite :

(cos(h)-1)/h tend vers 0 et sin(h)/h tend vers 1 d'où le résultat

par **Nightmare** » 24 Juin 2006, 13:10

Oula, je ne suis pas réveillé moi ... Merci Nox

par **nox** » 24 Juin 2006, 13:16

^^ no problem

ceci dit
(cos(h)-1)/h tend vers 0

pour montrer ca on utilise la dérivée de cos(x) donc on risque de tourner en rond si on veut montrer les 2 formules non?

par **murray** » 24 Juin 2006, 13:18

merci pour ta réponse nightmare, mais comment démontres-tu les formules de linéarisation de sin et cos ?
de plus tu admets que sin(h)/h tends vers 1.
Ce que je veux c'est une démonstration qui ne s'appuie sur rien d'admis.

par **simplet** » 24 Juin 2006, 13:32

sin(h)/h tend vers 1 qd h tend vers 0 car sin(h)=h+o(h^2) au voisinage de 0.

Ceci dit, on se sert ici des dérivées de sin et cos et c'est ce qu'on voulait démontrer justement... mais il me semble l'avoir démontrer au lycée en se passant puisque méconnus des développements limités...

par **simplet** » 24 Juin 2006, 13:34

et pour répondre à ta question, toutes les linéarisations que tu verras viendront de la formule de Taylor-Young que tu verra en Bac +1.

(j'espere que je ne dis pas de bétise:-)

par **abel** » 24 Juin 2006, 13:53

Sinon tu admets la dérivée de exp(ix) puis en prenant partie réelle et immaginaire....Sinon en passant par les séries entières....
J'avais eu un DS en sup qui parlait justement de construire sin,cos et exp avec un point de départ tres basique (periodicité, continuité + d'autres propriétés élémentaires), si je le retrouve je t'en fais part par contre tu auras les questions et pas les réponses (car si je me souviens bien j'avais pris 5 ou 6)...

par **Nightmare** » 24 Juin 2006, 13:55

On démontre géométriquement que :

sin(x)< x < tan(x)
donc
1 < x/sin(x) < 1/cos(x)
Donc lorsque x tend vers 0 x/sin(x) tend vers 1 d'après le théorème des gendarmes et il en va ainsi de même pour sin(x)/x

par **simplet** » 24 Juin 2006, 13:58

je pense que la dérivée de exp(it) provient des dérivées de sin et cos puisque exp(it) n'est pas une vraie exponentielle, ce n'est qu'une notation...

en ce qui concerne les séries entières après tout pourquoi pas, mais ca fait appel à des théorèmes (dérivation sous le signe somme) qu'il ne connait pas encore même s'ils sont il est vrai, trés intuitifs et admissibles pour les moins rigoureux...

et personnellement, je ne pense pas que mon prof de lycée m'en avait fait la démonstration :ptdr:

par **Nightmare** » 24 Juin 2006, 14:05

Et pour (cos(h)-1)/h :

cos(h)-1=-2sin²(h/2)
donc on peut écrire :

La conclusion est immédiate en utilisant la limite de sin(x)/x en 0

par **Nightmare** » 24 Juin 2006, 14:05

Bon le LaTeX ne passe pas mais il faut lire sin(h/2) au numérateur dans le dernier membre

par **abel** » 24 Juin 2006, 14:12

A mon avis il est en mesure de les comprendre ces théorèmes de dérivation ss le signe somme (cependant il faut qud meme admettre l'égalité entre le sinus et sa série entière)...J'essaie de retrouver mon ancien DS...

par **murray** » 24 Juin 2006, 14:51

je pense avoir trouvé une solution:

on part de somme(z^n/n!) qui converge pour tout z dans C

on pose alors exp(z)=somme(z^n/n!) n allant de 0 à l'infini

on a alors exp(ix)=somme((ix)^n/n!) x dans R

on pose alors cos(x)= Re(exp(ix)
sin(x)=Im(exp(ix)

on dérive exp(ix) en utilisant le théorème de dérivation d'une série entière.
puis on prend la partie réelle et imaginaire du résultat

par **simplet** » 24 Juin 2006, 16:57

oh excuse moi, je n'sais pas pourquoi mais je pensais que tu étais en terminal.

Avec les séries entières tu as bien une expression de cos' et sin' mais tu es obligés de passer par la dérivation de exp(it) où tu te sers des dérivés de cos et sin, puisque j'insiste, dériver exp(it) n'est pas dériver une simple exponentielle puisque ca n'en est pas une, ce n'est qu'une notation certes trés bien adaptée!

je dis des bétises ou pas là?? C'est à dire qu'il ne peut dériver exp(it) sans supposer connaitre les dérivées de cos et sin..???

par **Sdec25** » 24 Juin 2006, 17:12

Je crois qu'on peut dériver exp(it) sans connaître les dérivées de cos et sin :
exp(ix) = cos x + i sin x donc la dérivée est : i exp(ix) = -sin x + i cos x donc par identification : " (cos x)' " = - sin x et (sin x) ' = cos x.
Mais pour trouver que exp(it) = cos t + i sin(t) il faut à priori passer par les séries entières (cos x = ch(ix)...), donc connaître les dérivées de cos et sin. D'ailleurs je crois que la démo a été faite plus haut.
On tourne en rond donc.

par **simplet** » 24 Juin 2006, 17:23

oui mais pour dire que la dérivée de exp(it) est i.exp(it) tu l'a su en dérivant exp(it), non??!!

par **nox** » 24 Juin 2006, 17:27

pourquoi?ca correspond juste à l'expression en coordonnées polaires d'un nombre complexe non?pas besoin de passer par les séries entières...

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