Dérivée de Radon-Nikodym

par **arnaud26** » 13 Déc 2007, 03:09

Bonjour, je ne suis pas certain de bien comprendre le principe de dérivée de radon-nikodym. On me demande par exemple on me demande pour F(x) = tan x, de montrer que la mesure borélienne

F associée est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue

sur R et déterminer sa déerivéee de Radon-Nikodym. J'aimerais bien comprendre le concept. merci beaucoup.

par **tize** » 13 Déc 2007, 09:47

Bonjour,
montrer que

est absolument continue par rapport à la mesure

de Lebesgue revient à montrer que pour tout ensemble mesurable

:

...facile à montrer puisque

.
La dérivée de Radon-Nikodym de

par rapport à

est me semble-t-il l'unique fonction

(modulo

-p.p.) qui vérifie

...ce qui n'est qu'une formalité...

par **BQss** » 13 Déc 2007, 09:53

Salut,

Voir ici page 8: http://labomathlens.free.fr/Liens/AF/mesures.pdf

Quand une mesure l est absolument continue par rapport a une autre mu, tout ensemble de mesure nulle pour mu est de mesure nulle pour l , quand les mesures sont au moins sigma finies, cela correspond a l'existence d'une densité de la premiere par rapport a la seconde(exemple quand une surface est de mesure nulles, les forces de pression exercées sur cette surface sont de mesure nulle, la force est donc absolument continue par rapport a la surface et il existe une densité appelé la pression tel que la force s'exprime f=p.S ou encore df=p.ds), cette densité est alors la dérivée de radon nykodym et on note l=h.m.

est clairement absolument continue par rapport a la mesure de Lebesgue car tan(x) est finie pour tout x appartient à R, I.e "

"(peu rigoureux et pas à faire et on va donc en fait utiliser un théorème)
Théorème de radon Nikodym, si

et l sont

-finie, alors l est absolument continue par rapport à

ssi l=

avec h mesurable.
Or comme tan(x) est finie pour tout x appartient à R, le fait que la mesure de lebesgue soit

-finie implique que l est

-finie.

Et on conclu donc que

.F est absolument continue par rapport a la mesure de Lebesgue, sa dérivée de Radon Nikodym n'est alors rien d'autre que tan.

par **tize** » 13 Déc 2007, 09:56

Bonjour BQss,

BQss a écrit:Or comme tan(x) est finie pour tout x appartient à R...

tu veux dire

c'est bien ça ?

par **BQss** » 13 Déc 2007, 09:58

Bah en fait tan est a valeur dans R, donc est finie partout, donc est finie presque partout pour toute mesure puisqu'aucune mesure ne donne de valeur non nul a l'ensemble vide. Si non il aurait fallu préciser oui.

par **tize** » 13 Déc 2007, 10:01

Oui, je dis cela à cause des valeurs du genre

où tan n'est pas définie...

par **BQss** » 13 Déc 2007, 10:03

Oui tu as raison, c'est alors plus rigoureux de preciser.

par **BQss** » 13 Déc 2007, 10:08

Il faudrait en fait dire, est partout finie la ou elle est définie, ce qui ne necessite alors pas de preciser la mesure sur laquelle on travaille, l'ensemble de définition étant le domaine intervenant dans l'intégrale par l'intermediaire de l'image reciproque.

et l'on considère la restriction de tan a son domaine de définition.

par **tize** » 13 Déc 2007, 10:21

Oui mais je ne pense pas que l'on parle de mesure image ici mais bien de mesure à densité (donc pas d'image réciproque) cela dit puisque l'ensemble des points où

n'est pas définie est négligeable pour

on peut donc définir

sans modifier l'intégrale...

par **BQss** » 13 Déc 2007, 10:28

Bah quand on définit l'intégrale de lebesgue d'une fontion f, on le définit toujours par rapport a l'image réciproque, et l'integrale de toute fonction f définie alors toujours une mesure image de Lebesgue(en tout cas dans sa construction en tant que limite)...

Et je parlais juste de l'image réciproque ici pour évoquer que

, qui définit l'ensemble de définition, je vois donc pas ce que tu veux dire?

On ne parle pas d'image réciproque que pour des mesures images(j'en suis venu a parler des mesures images parce que tu l'evoques mais ce n'est pas le sujet effectivement et je ne l'ai pas évoqué moi meme dans mon poste)

par **BQss** » 13 Déc 2007, 10:35

Je parle de ca moi http://fr.wikipedia.org/wiki/Image_r%C3%A9ciproque , pourquoi me parles tu de mesure image?
Je dis juste qu'il suffit de considérer l'image réciproque de R et d'intégrer sur celle ci.

Oui mais je ne pense pas que l'on parle de mesure image ici mais bien de mesure à densité (donc pas d'image réciproque)

Je crois qu'on parle pas de la meme chose, car dans ce que j'évoque l'image réciproque existe indépendemment de la mesure.

par **tize** » 13 Déc 2007, 10:36

Ce que je voulais dire c'est juste que

et

ne sont pas les mêmes mesures, la première est une mesure à densité (c'est le cas de notre problème) la seconde une mesure image...

[edit] Ah ok, j'avais pas vu tes derniers posts...je t'avais mal compris donc, il n'y a pas de problème :we:

par **BQss** » 13 Déc 2007, 10:37

tize a écrit:Ce que je voulais dire c'est juste que et ne sont pas les mêmes mesures, la première est une mesure à densité (c'est le cas de notre problème) la seconde une mesure image...

Et ou ai-je parlé de ca, nulle part il n'est question de mesure image?
La mesure reste la meme c'est tan, que l'on change en

ces deux fonctions étant égale presque partout et de meme intégrale.
La deuxieme etant partout fini et partout définie...

par **tize** » 13 Déc 2007, 10:40

Non, nulle part mais comme tu as modifié ton post j'ai cru comprendre que tu en parlais...mais ça n'était pas le cas, j'ai édité mon dernier post entre temps....

par **BQss** » 13 Déc 2007, 10:41

J'en ai parlé parce que tu m'en as parlé et pour te répondre(ne saisissant d'ailleurs pas trop) , mais si non je n'ai parlé que d'image réciproque au départ et jamais de mesure image.

cf explication post au dessus du tiens

.

*edit Lol ok

par **BQss** » 13 Déc 2007, 10:47

tize a écrit:Ce que je voulais dire c'est juste que et ne sont pas les mêmes mesures

[edit] Ah ok, j'avais pas vu tes derniers posts...je t'avais mal compris donc, il n'y a pas de problème :we:

Oui biensur,

.
Et moi ce que je disais c'est quelque soit f mesurable:

avec

...

:zen:

PS:tu parlais de ca que j'ai rajouté?:

et l'integrale de toute fonction f définie alors toujours une mesure image de Lebesgue(en tout cas dans sa construction en tant que limite)

... Je tenté autant que faire ce peu de rebondir sur ta mesure image mais je n'ai saisi qu'apres (en ecrivant la deuxieme partie du post) qu'il y avait un quiproco et j'ai donc précisé que je parlais d'image réciproque sans qu'intervienne la mesure image ou que ce soit dans le post initiale.

Voila Dallas mon univers impitoyab a BLE.
:blah: :king2:
voila pou rla petite histoire

par **BQss** » 13 Déc 2007, 11:00

tize a écrit:cela dit puisque l'ensemble des points où n'est pas définie est négligeable pour on peut donc définir sans modifier l'intégrale...

Mais tize, meme si l'ensemble n'etait pas négligeable, on ne modifirait pas l'intégrale de lebesgue en écrivant que

, c'est la définition de l'intégrale de Lebesgue qui le veut ou on intègre sur l'image réciproque, je comprends le quiproco , en fait on se fiche que f soit définie p.partout ou pas quitte a la définir nulle la ou elle n'est pas définie(en tous cas moi j'ai toujours fait comme ca, l'important c'est que f soit mesurable et donc que

soit mesurable pour tout A de la tribu image)...

J'uitlise la définition 10 page 24, en prenant la limite de telles fonctions.
http://www.proba.jussieu.fr/cours/Integr01.pdf

par **arnaud26** » 13 Déc 2007, 15:09

wow je pensais pas partir un débat! lol
merci bien, je crois avoir compris l'essentiel et les théorèmes utilisées.

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