Mesure de radon

[titouaymen]

bonjour
je vais faire un exposé sur " la mesure de Radon" et je connais rien encore a propos de ça y-t-il quelqu'un qui peut m'aider svp

[girdav]

Bonjour,
tu es à quel niveau ?
Normalement, le contexte, c'est que l'on se place dans un espace topologique localement compact, qui peut s'écrire comme une réunion dénombrable de compacts, et on regarde les formes linéaires sur les fonctions continues à support compact qui transforment une fonction positive en un nombre positif. Mais du coup, ça parrait bizarre de parler de la mesure de Radon.

[titouaymen]

bonsoir
je suis en LF3 math et

[titouaymen]

c'est en matiere calcul intégrale le porf nous a donné plusieurs sujet pour faire des exposé et j'ai choisi la mesure de radon et je connai rien de ca et je sai pa mnt je vai faire koi !!!!

[titouaymen]

ya pa quelqu'un qui peut m'aider svp !!!!!!!

[busard_des_roseaux]

faut lire par exemple Dieudonné, éléments d'analyse.

intuitivement, concernant la mesure, tu dois faire le lien entre deux choses

- comment mesurer des compacts ?
- une forme linéaire sur des fonctions continues (à support compact)

pourquoi c'est lié ? parce que, avec le compact K , il y a sa fonction caractéristique
et qu'un ensemble de combinaisons linéaires de telles fonctions
indicatrices peut être dense dans l'espace des fonctions continues et réciproquement.

au niveau des mesures, certains résultats sont

- théorème de représentation de Riez: une forme linéaire définie sur un espace de fonctions s'exprime comme une intégrale par rapport à une mesure
- espace de distributions: l'ensemble est mesures est vû comme un dual topologique
d'ensemble de fonctions, l'intégrale sert de crochet de dualité

- des mesures, il y en a de différentes sortes: des Diracs (ponctuelles), des continues, assez lisses comme la mesure de Lebesgue, des totalement discontinues portés par un Cantor (cf escalier du diable).

- existence d'une mesure de Haar sur un groupe de Lie (groupes topologqiues avec une structure de variété différentiable)

Faudrait que tu situes les mesures de Radon dans ces familles.

je te conseille de réviser ton intégrale de Lebesgue: je crois me souvenir que les mesures de Radon, ça ressemble à une généralisation axiomatique de la mesure de Lebesgue , et qui dit "généralisation axiomatique" dit "ennuis de compréhension supplémentaires" :we:

si tu as vraiment des soucis pour cet expôsé, essaye de voir des cas particuliers de mesure de Radon
(p-e le dx de Lebesgue, ou p-e une mesure sur un groupe topologique compact), voir comment ça fonctionne...

[busard_des_roseaux]

ici ..............................

là ...........
mesure de Lebesgue

là

je vois un tout petit peu mieux.

d'abord, tu peux considérer une forme linéaire sur des fonctions continues à support compact.

le graphe de ces fonctions ressemble à l'éléphant dans le livre de St Exupéry: une bosse qui décroit rapidement vers zéro

d'autre par, les ensembles compacts , au moins dans Rn, ça doit pouvoir s'écrire comme réunion de pavés et l'indicatrice d'un pavé, c'est pas très éloigné d'une fonction continue à support compact.

donc la forme linéaire peut te permettre de définir une mesure.

comme il ya toujours des ennuis, le théorème important semble ^tre qu'une mesure s'écrit comme une somme de deux mesures, l'une absolument continue, ce qui doit autoriser une densité de la mesure qui est une sorte de dérivée de cette mesure et une autre mesure qui se récupère toutes les irrégularités (regarde l'escalier du diable de Cantor)

tu peux jeter un coup d'oeil à l'intégrale de Stieltjes où la densité de la mesure est la différence de deux fonctions croissantes (sauf erreur)

[titouaymen]

bravo mon amie ça se voit que t'a fais un grand travail là, mais pour cet exposé que je vais faire ce juste un petit projet le prof m'a dit "tu vas nous expliqué la définition de mesure de radon (le théorème) et tu vas nous donné les caractéristiques de ce mesure en une duré de 10 à 15 minute ce tous"
ça veut dire si tu peux me donner le théorème et les caractéristiques et je vais essayé de les comprendre et de les expliquer au autres ce tous et peu être je peux ajouté un petit exemple
bien sure si ce que j'ai dis est possible et merci beaucoup d'avance

[busard_des_roseaux]

ok.

c'est expliqué là

une mesure de Radon , définie sur un e.v.t, est une mesure finie sur tout compact

thm de Riez: les formes linéaires positives T sur les fonctions continues à support compact s'écrivent
où est une mesure de Radon


demo: il faut jongler entre les fonctions continues à support compact et les fonctions indicatrices de ces compacts.

heuristique les mesures de Radon est la présentation axiomatique de la mesure de Lebesgue
sur .
L'axiomatique, c'est plus difficile. on prend juste les hypothèses nécessaires aux démonstrations.

[titouaymen]

bon travail merci beaucoup