maxnihilist a écrit:Suis-je complètement à côté ?
un peu...
Si f est une fonction
continue d'un intervalle I de R dans R et que a est un élément fixé de I (éventuellement égal à +/-infini si l'intégrale est convergente) on peut définir la fonction
=\int_a^xf(t)\,dt)
(pour tout x de l'intervalle I)
Si on sintéresse à la dérivée de cette fonction F en un x fixé, on a :
\,=\,\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\,=\,\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt)
(en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales)
Or, lorsque h est très petit, la fonction f étant supposée continue en x, la valeur de f(t) pour t compris entre x et x+h reste à peu prés égale à f(x) et l'intégrale à calculer est très proche du calcul de l'intégrale d'une fonction constante (ce qui correspond à la surface d'un rectangle).
Donc
\,dt\sim h\times f(x))
ce qui permet de montrer que
=f(x))
c'est à dire que F est une des primitives de f.
(Rq : ce que je viens d'écrire n'est pas une "preuve" au sens strict du mot, mais une idée de la preuve)
En résumé, dire que
=\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}\,dt)
, c'est exactement la même chose que de dire que F est la primitive de
=e^{-\frac{x^2}{2})
qui s'annule en
