Dérivé de arcsin(racine de x)

[Rockleader]

J'ai un doute pour le calcul d'une dérivé, pourriez vous me la confirmer.
Vx étant la racine de x.

f(x)= arcsin Vx

<=> 1/sin Vx

<=> sin x^(-1/2)

Et donc ma dérivé vaudrait

-1/2x ^ (-3/2) cos(x)

<=> - cos(x) / 2x^(3/2)


Est ce juste ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Rockleader,

La fonction arcsinus n'est pas l'inverse de la fonction sinus. C'est sa fonction réciproque.
Utilise le théorème de dérivation des fonctions composées, je pense que ça devrait aller.

[Rockleader]

Salut Rockleader,

La fonction arcsinus n'est pas l'inverse de la fonction sinus. C'est sa fonction réciproque.
Utilise le théorème de dérivation des fonctions composées, je pense que ça devrait aller.

Erf, dans ce cas là je ne connais pas la dérivé de arcsin x

ET quand tu dis la fonction réciproque que veux tu dire ?

[Luc]

Erf, dans ce cas là je ne connais pas la dérivé de arcsin x

ET quand tu dis la fonction réciproque que veux tu dire ?

Revenons à la définition de arcsin x :
C'est la fonction définie sur [-1,1] qui à un nombre réel x dans [-1,1] associe l'unique nombre dans [-pi/2,pi/2] dont le sinus vaut x.

Cette fonction est bien définie car la fonction sinus réalise une bijection de [-pi/2,pi/2] vers [-1,1].

On a donc pour tout x de [-1,1], sin(arcsin(x))=x. sin(arcsin()) n'est pas définie en dehors de [-1,1].
Et pour tout x de [-pi/2,pi/2], arcsin(sin(x))=x.
Par contre, on peut définir arcsin(sin()) sur R tout entier, mais arcsin(sin(x))=x n'est plus vraie. arcsin(sin(x)) est une fonction dont le graphe est un signal triangulaire, 2-pi périodique.

Bref, pour connaitre la dérivée de arcsin x sur son ensemble de définition, on part de "pour tout x de [-1,1], sin(arcsin(x))=x" et on dérive cette égalité en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées. Je te laisse écrire ton calcul.

[Dlzlogic]

Bonjour Luc,
J'ai bien aimé la démonstration, mais cette dérivée fait aussi partie de la liste des dérivées de fonctions usuelles. Il est vrai que son expression était sortie de ma mémoire.

[Rockleader]

Ok, mais pour dériver la fonction composé sin(arcsin(x))

Il me faut quand même connaître la dérivé de arcsin...


Cela devrait me faire quelque chose dans le genre de

arcsin(x) ' +1*cos(arcsin(x))

[Luc]

Ok, mais pour dériver la fonction composé sin(arcsin(x))

Il me faut quand même connaître la dérivé de arcsin...


Cela devrait me faire quelque chose dans le genre de

arcsin(x) ' +1*cos(arcsin(x))

N'oublie pas que . Et revois ta dérivée composée, elle est fausse (il n'y a pas de +)

[Luc]

Bonjour Luc,
J'ai bien aimé la démonstration, mais cette dérivée fait aussi partie de la liste des dérivées de fonctions usuelles. Il est vrai que son expression était sortie de ma mémoire.

Oui on la connait normalement mais en l’occurrence il ne la connait pas, donc il doit la redémontrer.

[Rockleader]

N'oublie pas que . Et revois ta dérivée composée, elle est fausse (il n'y a pas de +)

Je ne vois même pas comment on trouve ça...

Je vais avoir du mal à démontrer un truc que je n'ai pas encore vu en cours...

[zermel0]

Tu as posté au lycée, tu es sûr de la présence de Arcsin ??

[Rockleader]

Tu as posté au lycée, tu es sûr de la présence de Arcsin ??

Oulà, mauvaise habitude c’est vrai....non c'est de la L1

[zermel0]

En général pour obtenir la dérivée d'une réciproque sympa (comme Arcsin) on procède comme suit : (je vais le faire dans l'exemple de Arcsin)

On part de cos² + sin² = 1.

On en déduit que cos(x) = rac ( 1 - sin² x) (c'est bien défini ce truc)

Bon maintenant la dérivée, c'est quoi Arcsin ?

C'est une fonction qui vérifie sin ( Arcsin x ) = x (on prendra garde aux intervalles d'études !!!)

On dérive (oui deux fonctions égales ont même dérivées)

soit : Arcsin' ( x ) * cos ( Arcsin ( x ) ) = 1
soit (formule du début de message) :
Arcsin ' x * rac ( 1 - sin² ( Arcsin x ) ) ) = 1

Donc Arcsin' x * rac ( 1 - x² ) = 1

pour x déifférent de 1 et -1
on a :

Arcsin' x = 1/ rac ( 1-x²)

voilàà (et c'est vrai sur ]-1,1[, car en -1 et 1 on a des demi tangentes verticales).

Est ce clair ?

[zermel0]

Je parie que tu pourras trouver seul la dérivée de Arctan maintenant :)

Essaie pour voir...

[Rockleader]

Ok merci je comprends mieux maintenant !


Pour arctan j'ai pas demandé puisqu'il suffisait de comprendre le sinus étant donné que la tangente n'ets que le rapport de l'un avec l'autre..



Merci !