Dérivabilité en un point

par **duchere** » 20 Sep 2006, 15:01

Bonjour,

Je ne voudrais pas dire de conneries....
Si une fonction n'est pas dérivable en un point,
on fait la limite de sa dérivée en ce point pour savoir ce qu'elle fait ou bien on doit faire la limite du taux d'accroissement ?
Il me semble que c'est débile de faire la deuxième possibilité vu qu'on ne fera rien d'autre que redémontrer la dérivée, puis s'en servir dans notre cas particulier, mais il me semble qu'en première, je devais refaire le taux d'accroissement, alors j'ai un doute, dans les fonctions du style sqrt(x^2+x+1), il me semlait que je faisais le taux d'accroissement.

Merci.

Jean

par **nox** » 20 Sep 2006, 15:07

Euh...j'ai rien compris...tu veux faire quoi ? C'est quoi le but ?

par **duchere** » 20 Sep 2006, 15:11

lol dsl

par ex f(x)=sqrt(x²-2x+1) n'est pas dérivable en 1.

est-ce-qu'on peut calculer f', voir qu'en un la limite à droite et à gauche de f' sont opposées et en déduire les demi tangentes ou bien doit on chercher la limite de (f(1+h)-f(1))/h en 0 ?
Cette question est me semble-t-il bete mais bon ... au risque de l'etre, je la pose....

Jean

par **Roman** » 20 Sep 2006, 15:14

Bonjour,

duchere, en fait, ce qui est "debile", c'est la premiere facon de faire :we: !

Par DEFINITION, une fonction de R dans R est derivable en un point x si et seulement si:

limite h->0 [f(x+h) - f(x)]/h existe et est finie.

Par consequent, pour montrer qu'une fonction de R dans R n'est PAS derivable en un point x, il faut essayer de calculer la limite precedente, et de montrer qu'elle n'existe pas...

Prend l'exemple de la fonction x -> sqrt(x), au point 0.

Le taux d'accroissement precedent vaut alors 1/sqrt(h), qui tend vers l'infini lorsque h tend vers 0.

Par definition, la fonction sqrt n'est donc pas derivable en 0.

C'est clair ?

Roman

par **yos** » 20 Sep 2006, 15:19

Roman a raison mais il y a quand même un théorème qui autorise des choses :
Si f est dérivable sur ]a,b], continue sur [a,b] et si la limite de f'(x) en a existe et est finie, alors f est dérivable en a et on a f'(a)=limf'(x) (qd x tend vers a).
C'est facile à prouver à partir du th des AF par exemple.

par **Roman** » 20 Sep 2006, 15:21

yos, voui, mais duchere veut montrer qu'une fonction n'est PAS derivable en un point :lol5: !

Roman

par **yos** » 20 Sep 2006, 15:36

Roman a écrit:yos, voui, mais duchere veut montrer qu'une fonction n'est PAS derivable en un point :lol5: !

Roman

C'est pareil!
Tu as [f(x)-f(a)]/(x-a)=f'(c) avec c dans ]a,x[ (c'est le TAF qui ne nécessite pas la dérivabilité en a, mais la continuité si).
Donc si f'(x) tend vers l'infini quand x tend vers a, il en va de même de f'(c) et donc du taux d'accroissement.

par **Roman** » 20 Sep 2006, 15:45

yos, toujours voui :we: !

Mais je te la refais, parce que visiblement, on ne se comprend pas...

Si tu veux montrer qu'une fonction de R dans R n'est PAS derivable en un point, sans AUCUNE autre hypothese sur cette fonction (du genre celle de sa derivabilite sur un certain intervalle de R), voire meme si tu veux demontrer que cette fonction n'est derivable en aucun point de R, tu ne peux PAS utiliser le TAF, puisque tu ne peux PAS supposer que f' existe, ne serait-ce que pour un seul c appartenant a R...

Je pense que c'est plus clair comme ca !

Roman

par **yos** » 20 Sep 2006, 17:10

yos, toujours voui !

Mais je te la refais, parce que visiblement, on ne se comprend pas...

Si tu veux montrer qu'une fonction de R dans R n'est PAS derivable en un point, sans AUCUNE autre hypothese sur cette fonction (du genre celle de sa derivabilite sur un certain intervalle de R), voire meme si tu veux demontrer que cette fonction n'est derivable en aucun point de R, tu ne peux PAS utiliser le TAF, puisque tu ne peux PAS supposer que f' existe, ne serait-ce que pour un seul c appartenant a R...

Je pense que c'est plus clair comme ca !

Ben... relis le premier post de duchere. Sa question sous-entend qu'il a déjà la dérivée sur l'intervalle ouvert et qu'il veut voir ce qui se passe à une borne. Utiliser la limite de la dérivée lui semble plus rapide et il a raison. De plus c'est toujours comme ça que le problème se présente... Même si c'est pas ce qu'on apprend au lycée.

par **bitonio** » 20 Sep 2006, 19:45

Petite précision interessante, ce n'est pas parce que la fonction a une valeur déterminée et finie qu'elle est dérivable

exemple:

n'est pas dérivable en 0 et

voila c'est dit, même si ca a pas un rapport direct. On oublie trop souvent ce cas la

par **nox** » 21 Sep 2006, 09:20

waip et d'ailleurs la continuité n'entraîne pas la dérivabilité de toute façon

par **duchere** » 21 Sep 2006, 16:41

Bonjour, oui je vois que ca a suscité des débats... :)
Mais en fait, ca me confirme dans mon idée.
C'est que si on n'a pas de dérivée définie au voisinage du point, on est obligé de faire le taux d'accroissement, sinon on fait la limite de la dérivée, c'est ca ou je me trombe ?

Et si on a une fonction du genre f(0)=a en 0 et f(x)=truc machin bidule sur R+, qu'elle est continue en 0, et qu'on veut savoir si elle est dérivable en 0.
On peut faire la limite de f'(x) il me semble non ?
Puise f(0) = lim en 0 de f ? Non ?

Jean

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